滲透微元思想 培養核心素養

摘 要：微積分是高等數學的重要內容，對處理復雜問題有著優越的作用。微元思想時常滲透在高中物理教學中，為了更好地認識微元思想在物理教材的應用，筆者從微元思想在必修教材中的應用，如何將微元思想在物理課堂教學中拓展，以及微元思想對物理教學意義的三個方面進行闡述。

關鍵詞：微元思想；物理教學；學科素養

常言道，數理不分家，數學方法及思想在解決物理問題中常起著重要的作用。一代偉人牛頓提出牛頓三大定律及萬有引力定律，奠定了經典物理的基礎。他的這些成就絕不能說與他出色的數學能力無關。在數學上，牛頓與戈特弗里德·萊布尼茨分享了發展出微積分學的榮譽。在高中物理學習中，我們時常會用到許多的數學方法來解決物理問題。

在處理中學物理問題時，對某事件做整體的觀察后，從對事物的極小部分（微元）分析入手，先分割逼近，取出事件的某一微小單元分析，找到規律，再累計求和，最終達到解決事物整體的方法，稱為微元法。這是一種深刻的思維方式，通過對物體微小單元的分析和描述，最終解決整體的問題。微積分是高等數學的重要內容，高中數學雖也介紹，但比較淺顯，學生在物理課程中接觸到微積分思想要先于數學，具體微積分計算高中物理中也不作要求，所以教師在教學中傳授給學生的只是一種思想，重要的是讓學生理解、體會到這樣一種思想，且把這種思想稱作“微元思想”吧。今天這里筆者將談談微元思想在高中物理必修內容中的應用。

一、 微元思想在物理必修教材中的滲透

筆者經過高中物理三輪的完整教學，該學年剛好任教高一年級，在教學過程常做小結與反思，我發現，必修教材中多處滲透著微元思想。

（一） 瞬時速度定義

《運動快慢的描述——速度》教學目標指出：在討論平均速度與瞬時速度聯系的過程中，初步體會極限的思想方法。

如變速直線運動中的瞬時速度概念，是先建立粗略地描述運動快慢的平均速度的概念v=ΔxΔt，然后為了使描述精確，我們把變速直線運動的過程取得越來越小，即時間越來越短，在t到t+Δt這個較小的時間間隔內平均速度ΔxΔt就越來越接近t時刻的瞬時速度，當我們把過程取得無限小時，位移也接近零，但位移與時間的比值卻是一個確定的值，這就是運動物體在某時刻的瞬時速度。

意義：學生第一次在高中物理中接觸微元、極限思想，學生雖不能很快接受，但給學生初次體會，為今后學習埋下伏筆。

（二） 勻變速直線運動位移時間關系式的推導

教學目標指出：理解勻變速直線運動的位移與vt圖形中四邊形面積的對應關系，使學生感受利用微元思想解決物理問題的科學思維方法。

在推導勻變速直線運動的位移時，用到了微元思想，如圖1所示，把整個運動過程分成多段勻速直線運動，當時間分得非常細，小矩形就會非常多，它的面積也就等于圖像與坐標軸所圍成的面積，即整個運動的位移，從而得出了位移公式。

意義：“一個變化過程在極短時間內可以認為是不變的”，這種“化變為常”，突破常規的思想，使學生如沐春風、清新異常，讓學生的思維得以震撼，使學生對微元思想的感受不斷加深，拓展了思維深度。

（三） 重力做功的特點

教學目標指出：要知道重力做功與路徑無關。

創設情景，計算下列三種情況下重力做的功：

圖2

教材從學生的認知角度，由淺入深逐步深入地設置情景，先研究豎直下落，再研究沿傾斜直線向下運動，最后到任意曲面下滑過程，通過計算物體從A點到B點的不同路徑所做的功，得出重力做功與物體運動路徑無關的結論。以下作簡單的推導：

①豎直下落：WG=mgh

②沿斜面下落：WG=mgssinθ=mgh

③沿曲面下滑：將曲面分割成一小段一小段，足夠小時，曲面就可看成斜面，就可以利用上面②中的結論求出各小段重力做的功，最后將各段累積求和，微元思想再次呈現出來。

W=W1+W2+W3+…Wn

=mg·Δh1+mg·Δh2+mg·Δh3+…mg·Δhn

=mg（Δh1+Δh2+Δh3+…Δhn）

=mgh

意義：這里“化曲為直”顛覆了學生思想中原有的“曲直”觀念。這種“曲”“直”的相對性讓學生的心靈再一次升華，讓懵懂青春的他們，思想再一次地開闊。

（四） 推導彈性勢能的表達式

教學目標指出：領會求彈力做功時通過細分過程化變力為恒力的思想方法。

從彈力做功來探究彈性勢能的表達式的方法、探究過程中化變為恒的思想和利用圖像法進行處理是本節的重點，也是難點。

在研究重力勢能時從重力做功入手，研究彈性勢能時也可以從分析彈力做功入手。彈簧的彈力和彈簧受到的拉力等大反向，拉力做功等于克服彈簧彈力做功，也就等于彈性勢能的變化量。用類比的方法分析時要注意區別重力做功和彈力做功的不同特點。在地球附近，重力為恒力，而拉伸彈簧過程中，拉力隨彈簧形變量的變化而變化，拉力還因彈簧不同而不同，因此拉力做功不能直接用功的公式W=Flcosα。那么，如何求拉力做功呢？回顧勻變速直線運動位移時采用的方法，通過類比，提出解決方法——將彈簧的形變過程分成很多小段，每一小段中近似地認為拉力是不變的，所以每小段的拉力做功分別為：

與勻變速直線運動中利用vt圖像求位移x相似，我們也作Fl圖像（圖3），每段拉力的功就是圖中細窄的矩形面積，對這些面積求和，就得到了F與l所圍成的三角形的面積。考慮到新課程標準對彈性勢能的表達式沒有任何要求，對彈性勢能表達式的處理就比較的靈活。這里我們可以根據三角形面積公式得到彈性勢能的表達式：

Ep=12kx2

圖3

意義：書本獨具匠心，讓我們的學生在前面學習的基礎之上有了一個用武之地，充分貫徹了新課程對三維目標的落實，同時這種“化變為恒”思想對日后解決變力做功問題也有啟發。

二、 微元思想在高中物理教學中的拓展

學生在解決問題中希望能夠用比較簡便有效的方法去解決，當碰到一些用現有知識無法解決的時候，他們會渴望獲得解決方法。微元思想在教學中已經多次滲透，學生對此漸漸領會其解決相關問題的優越性，所以在平時的教學中作必要的拓展，對培養學生能力和思維方法有著很大的幫助，培養學生物理學科素養。

新課標強調教學三維目標（即知識與技能，過程與方法，情感、態度與價值觀）的落實。在過程與方法中提到通過物理概念和規律的學習，了解物理學習的研究方法，認識物理實驗、物理模型和數學工具在物理學發展過程中的應用。近幾年的《浙江省高考考試說明》中都明確指出考查學生應用數學知識處理物理問題的能力：能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論；必要時能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析。說明教師需要在教學中進行拓展引導以促進三維目標的落實。

物理教材中多次出現出體現微元極限思想的應用。物理中許多物理量以變化率來定義，如速度、加速度等，其實就是導數的運用。推導勻變速運動位移時間關系式時就進行無限分割，運用到極限的思想。借助微元思想的幫助我們解決實際問題，同時豐富拓展了學生的思維。證明教師在教學中對微元思想拓展的必要性。

無論從學生認知角度還是三維目標落實及教學過程的需要，以及培養學生核心素養，都要求教師在教學進行拓展，如何拓展呢？下面我們通過三個教學案例來分析。

（一） 新課拓展，提高能力

要提高解決問題的能力，需要形成科學的思路和掌握基本的方法，科學思路和基本方法的掌握是不可能通過灌輸達成的，需要經常、適時地拓展。下面通過案例1來體會。

案例1：萬有引力定律表達式適用范圍的討論

F=Gm1m2r2

1. 教師提問：通過前面的學習我們得出了引力公式，那么公式中“兩物體間距離”指的是物體哪兩部分的距離？

學生思考：……

2. 教師提問：如果兩物體可看作質點呢？

學生回答：兩質點間的距離。

3. 教師提問：若兩物體是勻質球體呢？

學生回答：球心間的距離。

4. 教師提問：你得到這樣答案的依據是什么？

（預計學生回答不出這個問題，先討論下面問題后再回過頭解釋）

教師引導學生思考：顯然如果兩個物體可以看成是質點，r為兩質點間的距離，對于任意形狀的物體不能看成質點時，如果我們把物體分割成無數足夠小的部分，直到可以將各部分看成質點（稍微停頓，留意學生的表情，引起學生思考的興趣）。

有學生就會發言：這是微元思想。

5. 教師給予肯定，那么之后該怎么處理呢？

學生回答并提出疑問：各質點間的引力是可以求，但是要怎么求的是兩物體間引力。

6. 教師引導：同學們回想下勻變速運動位移公式的推導用到微元思想，從微小部分討論，累積求和，最終解決整體的思想。

學生回答：求出任意兩質點間的引力，再將它們求和。

7. 教師肯定：這位同學對微元思想的領會比較深刻了，有哪位同學再來補充下？

學生修正回答：應該是一個物體上各個質點與另外一個物體上各個質點間的引力之和。

教師小結：非常正確。

學生提問：這樣解不是太麻煩了嗎？好像沒法解。

教師回答：該同學提得好，這里面牽扯到微積分的計算，這個內容要到大學才會學到，現在不作要求，但在這個過程中我要求大家去體會微元思想的應用。

我們現在可以來解釋兩勻質球體間的距離r為什么是球心間的距離：其實r是等效距離，就是利用微積分求解后等效得出的。

總結：引力公式適合計算：①兩質點間；②兩勻質球體（球殼）；③質點和勻質球體（球殼）。

教學評價：教學在講解引力公式的適用條件時，許多老師直接告知條件，學生學習時就會充滿疑惑，全然不知緣故。該案例，從對兩物體間距離r進行討論，由質點到一般物體（不能看做質點）的討論，將物體微元分割成無數質點，然后求出兩物體間任意兩質點間的引力累積求和，教學中再次滲透微元思想。教學過程注重過程和方法的培養，學生有體會、參與過程。

（二） 例題拓展，示范啟發

物理教學中選取的例題，在解題的思路與方法上具有典型性和代表性，在由知識轉化為能力的過程中具有示范性和啟發性。

案例2

例1：某力F=20N作用于半徑r=0.5m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向始終與作用點的切線方向一致，則轉動一周這個力F做的總功應為多少？

解析：把圓周分成無限個小元段，每個小元段可認為與力在同一直線上，則轉一周中各個小元段做功的代數和為

W=F×2πr=20N×2π×0.5m=62.8J

例2：一個質量為m的小球放在光滑的水平面上，以v的速度繞O點做勻速圓周運動，其半徑為r，求運動一周繩子對小球所做的功。

解析：受力分析，繩子對小球的拉力始終指向圓心，是變力。同上題把圓周分成無限個小元段，每個小元段與力垂直，故不做功。所以拉力不做功。

案例3

如圖4所示，以不變的速率v通過繩拉河中的小船，當繩與水平方向成θ角時，求小船的瞬時速度。

圖4

解析：取很小段時間，船從A移到B位置，因為時間取得非常小，所以有上圖的關系，v1=ABΔt=ΔscosθΔt=vcosθ。

這個表達式的得出，其實是在Δt很小時成立的。

在學習中時常會碰到許多需要借助微元思想的題型，在對例題的分析，我們讓學生進一步地體會微元思想的作用，并強化學生“化變為恒，化曲為直”的思想。

三、 微元思想對物理教學的意義

浙江省普通高中新課程實驗《學科教學指導意見》將教學要求分“基本要求”“發展要求”，微元思想運用在教材中多次出現，并且是作為學生的“發展要求”，是要求學生理解、并能運用的思想方法。微積分是高等數學的重要內容，高中涉及比較淺顯，且在高中數學教學上也是晚于物理，作為一種重要的思想方法，在平時教學中適時地拓展，逐漸滲透并掌握，運用到今后選修課程的教學中。

微元思想是高中物理學習中的一種重要的思想。對于一個具體的物理實體或物理過程，運用微元法進行無限分割，“化曲為直，化變為恒”。微元思想豐富了處理問題的手段，拓展了我們的思維，使學生認識世界的一種世界觀的轉變，達到一種思想境界的升華，培養學生物理學科素養。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書.物理必修教材[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]王溢然，束炳如.中學物理思維方法叢書[M].鄭州：河南教育出版社，1999.

作者簡介：

吳思大，浙江省麗水市，浙江省慶元中學。