極限思想在中學函數解題中的應用

摘 要：極限思想是數學分析中的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。本文主要將運用極限思想的方法和常規的解題方法作對比，反映出極限思想在中學數學部分函數問題中的妙用。

關鍵詞：極限思想；中學數學；函數；應用

函數是中學數學中十分重要的一個版塊，幾乎所有的數學知識都能用幾何的形式以函數為中心觀念結合起來。函數的涵蓋面十分廣，從一般初等函數到三角函數，而解決有關函數的問題的方法也多種多樣，其中極限思想也是其中的一種，在較難的函數問題中運用極限思想能夠適當的簡化抽象復雜的運算，突破難以想到的難題。

一、 利用極限思想求未知變量的取值范圍

【例1】 已知函f（x）=|lgx|，010，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是？

分析：若按一般解法：首先由分段函數可得函數的圖像，根據對數函數的性質得出答案，用一般解法的難點在于許多同學不能自如的運用對數函數的性質，不易想到“-loga=logb”，從而不能求解該題。

利用極限思想求解該題思路如下：直接由該分段函數的圖像可得出直線y=1與該函數的圖像相交時即為最小值，此時a→0，b→10，c→10，故abc=10；當平行于x軸的直線趨近于x軸時取得最大值，此時abc=12，這個解法比較簡單，對于基礎薄弱成績中等的學生依然適用。

二、 利用極限思想確定函數圖像

【例2】 函數f（x）=2-2x2-2x+1的圖像是（ ）

分析：此函數并不是我們平時常見的函數，函數圖像不容易畫出。但是利用極限思想可知，當x→1時，y→-∞，故可以排除A，C選項，又因為通過觀察可知函數過原點，故選B；利用極限思想判斷函數圖像是中學中判斷函數圖像的既高效又快速的方法。

三、 利用極限思想確定函數值域

【例3】 函數f（x）=1+1x2的值域為（ ）

A. （1，+∞）B. （2，-∞）

C. [2，+∞）D. [1，-∞）

分析：若按一般解法，需要利用反函數，令y=f（x），因為y=1+1x2，故x2=1y-1，則由x2≥0可得1y-1≥0。計算可得y≥1，故值域為（1，+∞）。

利用極限思想求解該題思路如下：當x趨近于0時，f（x）趨近于正無窮，從而排除B，D兩個選項，再由觀察即可得當x=2時，函數值介于1到2之間，故選A。

四、 小結

極限思想是我們在大學的學習中所要著重培養的一種思維方式，它在整個數學史中占據了十分重要的作用，在中學的數學教學中我們也應該在潛移默化中培養學生的這種思維，要充分認識到極限思想在解題中的便捷性，以及在培養學生的創造性思維時的有效性，在素質教育的今天，我們不應該只教給學生大量的機械的解題方法，還應該重視各種數學思想的滲透。極限思想作為一種基礎而重要的數學思想，應該在中學教育中重視起來。

參考文獻：

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作者簡介：

汪瑤，四川省南充市，南充市順慶區西華師范大學。