高中數列部分課程難度的定量分析比較

摘 要：了解數列在高考中的常考題型及考察重點，有助于幫助學習了解數列學習的重點及解題策略。數列是高中數學一個比較特殊的存在，它看似自成體系，實則與其他知識有很大的相關性，所以對數列難度的分析可以為學生的學習指明方向。

關鍵詞：高中數學；定量；課程

數列在整個高中課本當中所占的內容比較少，在人教A版中只占一章的內容。但數列題在高考當中所占分值不小，數列的知識與其他數學知識有密切的聯系，比如數、方程、不等式、函數等，高考題中最后的解答題也經常出現數列與函數結合的題目。而且數列在現實生活中有著廣泛的應用，例如，堆放物品總數的計算、儲蓄、分期付款等有關計算也要用到數列知識，學生學好數列，對于培養數學分析能力、歸納能力、猜想能力及綜合運用知識解決問題的能力都有幫助。因此這部分內容雖然比較少，但在整個高中數學教學中處于一個知識匯總的地位，又由于在高考應用題當中出現得較多，所以在高中數學中占有較重要的地位。

一、 高中數列內容的難度分析

數列的內容位于必修五第二章，是在三角函數、算法、函數等的基礎上進行學習的，在一定程度上是會結合以上知識的綜合運用，也是進一步學習其他知識的基礎，如數學歸納法，以及高等數學中數列的極限、級數等，為學生接受高等數學教育提供了基本的知識背景，是初等數學與高等數學的連接點。數列作為高中數學的一項重要內容，它不僅與其他知識有重要聯系，而且還有非常鮮明的現實價值，例如在計算機病毒感染問題、購房中的數學等問題，都會用到數列。以下從難度上分析數列各知識點。

（一） 記憶水平的知識點

數列的概念和簡單的表示方法需要簡單了解，如列表法、圖像法和通項公式，這部分內容需要兩個課時。這部分的知識點的考查一般以選擇題、填空題的形式出現，所占分值不多。

（二） 理解水平的知識點

等差數列、等比數列的通項公式和前n項的和的公式需要認真掌握。這部分內容在講授時需要用8個課時。這些是教學的重點內容。數列中有類比、化歸轉化、數形結合、分類與整合、算法、特殊到一般等數學思想方法，這些數學思想對教學有促進和指導作用，能幫學生將數學知識轉化為技能，對提高學生的數學核心素養有重要的作用。

（三） 探究水平的知識點

數列是在正整數集或其有限子集上的函數，是一類離散函數，是刻畫離散現象的一個重要數學模型，這是理解數列的重點也是難點。因為一般函數都是連貫性的，在數軸上呈一條連貫的曲線，而數列的特殊性就在于它的不連續性，它是由許多分散的點組成的。具體要求就是能在具體的問題情境中發現數列的等差關系或等比關系，并能綜合運用函數、方程、數列的知識解決問題；能理解數列通項公式、遞推公式，靈活運用公式，構造數列解決問題以及在數列中的不等式思想等。

二、 高考中數列的題型及解答策略

高考中對數列內容的考查以中等及中等以上難度的題目為主，在課改之前，一般是在壓軸題中出現，在課改之后，對數列的考查難度有所降低，在題型上筆者做了以下總結：2010～2016年全國卷中，有7次是選題題，有4次是解答題，有5次是填空題，考查的知識點以理解和探究水平為主，包括：通項公式、遞推數列以及數列與函數、方程的綜合等問題。每年高考試卷中數列所占分值是6.7%～11.3%。可看到，數列的內容是必考的，而且所占分值都不小，一個解答題就是12分，填空和選擇題是5分，總分值在10～17分。每個數列題的解答要具體情況具體分析，方法有很多，但從大的方向來說，解答策略可以從以下兩個方面入手。

（一） 對于熟知的記憶性的問題，直接套用公式

例如，等差數列、等比數列的相關定義、性質、能項公式、前n項的和的公式，an與sn的關系，常見的數列求和方法（倒序相減法、錯位相減法、列項相消法、分組求和法），遞推數列求通項（累加法、累乘法、待定系數法等），這些都是直接套用公式或進行簡單的知識遷移就可以做到的。

（二） 對于陌生的數列問題

在解題時主要有兩個思路，第一，將陌生的數列問題運用化歸轉化的方法轉化成熟悉的問題來解決。

例如2016年全國卷Ⅰ理15中的一道數列題，“設等比數列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值是多少”這個數列是等比數列，也給出了兩個等式，我們就可以將兩個等式轉化為兩個方程，然后再結合等比數列的通項公式進行考慮，使用基本量法，統一未知數，列方程組，通過觀察兩式相比即可解方程求出公比和首項，進行求出等比數列的通項公式，進而通過指數函數的性質寫出解析式，使用復合函數求最值就可以求解了。

第二是歸納法找規則，寫出數列的通項式，找規律。

例如，2016年全國卷Ⅲ，理12，定義規范01數列{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數，若m=4，則不同的“規范01數列”共有多少個？

A. 18個 B. 16個 C. 14個 D. 12個

第一眼看到這個題就感覺很難，其實仔細一看，你會發現這是一道以數列為背景的計數原理的應用，考核學生對新定義的理解和運用，側重于對學生的分析、解決問題能力的考查。這是一個“新”題，難度并不大。

高考數學對數列方面考查和難度決定了學生在日常學習過程中，不僅要掌握數列的基本知識，還要會靈活、綜合地運用這些知識去解決實際問題。

參考文獻：

[1]吳定能.貴州省高中數學高考數列試題研究[D].貴州師范大學，2017.

[2]談榮.高中學生數列極限認知結構的研究[D].上海師范大學，2015.

作者簡介：

達志海，甘肅省武威市，甘肅省古浪縣第一中學。