信息技術與數學教學深度融合的模擬實驗策略

羅宇軍 呂家星

【摘 要】本文通過對高中數學必修 1-5，選修 2-1，選修 2-2，選修 2-3 與信息技術深度融合的案例進行分析和總結，提煉出信息技術與數學教學深度融合的模擬實驗策略。通過模擬實驗讓教師經歷從組織學習內容到設計學習經歷的轉化，讓學生的學習從被動接受到主動探究的轉化。

【關鍵詞】信息技術 數學教學 深度融合 模擬實驗

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）10B-0048-06

策略是為實現某一個目標，根據可能出現的問題制定若干對應的方案，在實現目標的過程中，根據形勢的發展和變化來制定新的方案，或者根據形勢的發展和變化選擇相應的方案，最終實現目標。在數學教學中，存在很多的含變量的知識點，這種知識點由于參數的變化而變得復雜，教師在教學過程中難以講得清楚明白。比如，立體幾何，因教具缺乏和學生空間想象能力不足，導致教師在教學過程中感到力不從心。如果能利用幾何畫板及相關幾何畫圖軟件制作相應的課件讓學生進行“實驗”，那么就能使學生更好地理解幾何原理。這種利用信息技術手段的“模擬實驗”方法，既節約教學成本，又縮短教學時間，從而提高教學效率。因此，信息技術與數學教學深度融合的模擬實驗便成為數學教學中的一種比較優勢措施。

一、模擬實驗的適用范圍

和物理化學一樣，很多數學知識是由學生觀察“數學現象”并進行歸納總結而得到或者形成的，如《指數函數及其性質》這一課的教學，為什么函數中規定 a>0 且 a≠1？為什么指數函數圖象恒過（1，0）？為什么值域為（0，+∞）？等等。傳統的教學方法無法直觀地展現這些知識內涵，就是很辛苦地講解也不一定講清楚。如果利用幾何畫板制作成下面的課件（如圖 1 所示），讓學生通過數學實驗的方式進行學習，那么就能“一拖”而解決所有問題（讓學生結合實驗，拖動 a，改變 a 的值并觀察圖象，就可以較好地把指數函數講清楚，較好地回答上面的問題）。

圖 1

但要注意，不是所有的課都要通過實驗來進行教學，數學課也如此。那么，哪些課需要通過“實驗”來進行呢？筆者對高中數學進行總結分析，得出適用“數學實驗”的數學課有如下特點。

（一）大多數函數問題（特別是含參數的函數），如 y=Asin（ωx+φ）的圖象、指數函數、對數函數等。具體如下：

以 y=Asin（ωx+φ）的圖象為例，對于 A，ω，φ 是如何影響 y=Asin（ωx+φ）圖象的？一般的黑板教學無法很好地展示。筆者利用幾何畫板的動態作圖特點，設計數學實驗如下：

〖實驗一〗振幅變換：如圖 2 所示，點擊圖中對應的按鈕，改變 A 的取值，觀察圖象的變化，歸納出振幅變換的規律。

圖 2

〖實驗二〗周期變換：如圖 3 所示，點擊圖中對應的按鈕，改變 ω 的取值，觀察圖象的變化，歸納出周期變換的規律。

圖 3

〖實驗三〗平移變換：如圖 4 所示，點擊圖中對應的按鈕，改變 φ 的取值，觀察圖象的變化，歸納出平移變換的規律。

圖 4

（二）軌跡（曲線）問題，如橢圓、雙曲線、拋物線等。軌跡問題的教學策略：以模擬實驗替代傳統實驗，以精確度量代替直觀歸納，從而減少實驗成本，減少實驗“意外”的發生等影響學習的因素（以橢圓的定義為例）。

教材中采用如圖 5 的實驗的形式。

圖 5

讓學生通過實驗探究橢圓的形成過程，從而總結出橢圓的定義：把平面內與兩個定點 F1，F2 的距離之和等于常數（大于 ∣F1F2∣）的點的軌跡叫做橢圓。

實踐表明，該實驗的演示效果比較差，另外實驗過程中的“意外”時有發生，并且當“常數（等于∣F1F2∣）”和“常數（小于∣F1F2∣）”時的軌跡是怎樣的？比較難解釋。鑒于以上問題，筆者利用幾何畫板制作課件進行“模擬實驗”，解決上述問題。實驗畫面如下：

圖 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 7? ? ? ? ?圖 8

如圖 6 所示，當 2a>∣F1F2∣時，呈現的圖形是橢圓;如圖 7 所示，當 2a=∣F1F2∣時，呈現的圖形是線段;如圖 8 所示，當 2a<∣F1F2∣時，沒有呈現圖形（即此時圖形不存在）。如此便能夠輕松地講清楚這個知識點。

（三）定點、定值問題。具體如下：

〖例 1〗已知點 M 是橢圓? 的長軸上異于頂點的任意點，過點 M 且與 x 軸不垂直的直線交橢圓 E 于 A、C 兩點，點 A 關于 x 軸的對稱點為 B，設直線 BC 交 x 軸于點 N，試判斷? 是否為定值？并證明你的結論。

長期以來，定值、定點問題是學生眼中的“難點”，主要原因有兩個：（1）動點之間的關系不好確定，各個動點相互作用后，搞不清楚哪些是不動的？不知如何求定值？（2）定值是多少，難以確定（沒有目標、方向）。

利用幾何畫板制作好課件，在課堂上進行數學模擬實驗，可以很好地解決上面的兩個問題。制作課件如下圖：

圖 9?? 圖 10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖 11

第一步：拖動 Q 點改變直線斜率，發現雖然 C 點改變，B 點隨之改變，但是 N 點沒有隨之改變（如圖 9 所示），因此，在 M 不改變的情況下，N 不變，所以? 是定值。

第二步：拖動 M 點改變 M 的位置，發現 N 點隨之改變， B 點隨之改變，但是通過度量功能度量出 xM，xN，發現? 的值并沒有隨之改變（如圖 10 所示），因此，在 M 改變的情況下，N 隨之改變，但是? 是定值 25。

第三步：拖動 M 點到點 E（長軸的右端點），發現 N 點隨之移動到 E 點的位置（如圖 11 所示），此時 xM=xN=a，引導學生分析，得出結論：。

通過上面的探究，很容易引導學生總結出解決定值（定點）的方法（特殊到一般法）：分析動點或動線的特殊情況探索出定值，再證明該定值與變量無關。

（四）線性規劃問題。含參數的線性目標函數具有較強的抽象性，參數的變化對可行域或目標函數的變化，對于學生來說，不易理解。為解決這一問題，可通過信息技術與數學教學融合，利用幾何畫板動態展示，引導學生觀察與發現，體會參數變化對圖象的影響。

結合參數所在的位置，可以發現含參數的線性目標函數問題一般可以分為兩類：

1.探究約束條件含有參數的線性目標函數問題（域變目標定問題）

〖例 2〗若變量 x，y 滿足約束條件 ，且 z=2x+y 的最小值為 -6，則 k=? ? ? ?。

按照正常的線性目標函數分析，發現可行域雖然含參數，但容易得知參數對直線的變化情況的影響。發現無論 k 如何變化，最優解都在 y=x 和 y=k 的交點取得，把抽象變成具體，能直觀得到最優解的判斷。

圖 12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 13

圖 14

正常情況下，可行域和目標都是變化的，學生分析起來比較困難。如果我們能夠把兩個變量減少到一個變量，那么解題難度將會減小許多。在這一指導思想下，通過與學生小組討論發現，如果 z=2x+y=6，那么可得到定直線 2x+y=6。只需要改變 k，改變可行域，就可發現當 C（k，k）不在直線 2x+y=6 上時就不能滿足條件（如圖 12，13 所示）;只有當 C（k，k）在直線 2x+y=6 上才滿足條件（如圖 14 所示）。由 2k+k=6，得到 k=2。

可行域中含有參數的解題策略：把最值代入目標函數得到一條定直線，平移此直線分析它與可行域的相交情況，即可快速解決問題。

2.探究目標函數含參數的線性規劃問題（域定目標變問題）

〖例 3〗若變量 x，y 滿足約束條件 ，且 z=ax+y 的最大值為 4，則 a=? ? ? ?。

我們知道，將目標函數化為斜截式后斜率和截距都變，不好畫圖，比參數在約束條件時更復雜，但類似地，我們可以通過特殊化探究，即由 z=ax+y=4，得到此時的目標函數 y=-ax+4，此時的目標函數恒過（0，4）。然后通過改變 a 的值，得到一個恒過（0，4）的直線系（如圖 15 所示），而且當且僅當直線過 E（2，0）時滿足題目條件（如圖 16 所示），把（2，0）代入后得到 a=2。

目標函數中含有參數的解題策略：把最值代入目標函數得到一條過定點的直線，旋轉此直線，分析它與可行域的相交情況，即可快速解決問題。

圖 15? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 16

（五）分段函數問題。由于 Geogebra 軟件兼具幾何與代數兩大功能，因此能夠將數形結合的情況體現得淋漓盡致，因此，只要是數形結合的問題，都可以利用它來進行形象展現。利用它的這一特點進行數學實驗同樣可以最大限度地發揮信息技術的優勢，提升學習效率。

〖例 4〗已知 ，若 h（x）=a 有且僅有三個根，求 a 的取值范圍。

分段函數是高中數學的難點，因為它能夠同時涉及多種函數，可以同時考查多個知識點，達到“一石多鳥”的目的，所以它是高考的熱點。這類問題的難點來源于：（1）學生對分段函數的認識模糊;（2）區間內函數的根的問題無通法可循。實際上，“h（x）=a 有且僅有三個根”可以轉化為“函數 y=h（x）的圖象與函數 y=a 的圖象有且僅有三個交點”。這就要求畫出分段函數的圖象，利用 Geogebra 軟件的邏輯功能就可以解決分段函數問題。

1.認識分段函數

通過點擊函數前面的圓點（如圖 17 所示），切換函數呈現（如圖 18，19 所示），讓學生理解分段函數與原函數的關系，讓學生理解分段函數實際上是區間上的原函數的組合（是一條“折線”）。

圖 17? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 18

圖 19

2.區間上函數的根的個數問題

作函數 y=a 的圖象（是一條平行于 x 軸的直線，拖動改變 a，觀察直線與“折線”的交點情況（如圖 20，21，22 所示），容易知道直線位于? a∈（-3，1）。

圖 20

圖 21

圖 22

（六）三視圖的 3D 實驗室。學生在本課學習過程中可能在以下三個方面會遇到障礙：

（1）學生在畫三視圖時會出現障礙。原因在于，雖然初中已經接觸過三視圖的相關內容，但對輪廓線和棱的實、虛線的運用尚不熟練，導致作圖出現錯誤。

（2）學生在識別三視圖所表示的幾何體時會出現障礙。原因在于，所需識別的幾何體具有一定的復雜性，高一學生空間想象力的缺乏是造成此障礙的直接原因，特別是在識別特殊三棱錐和一些簡單組合體的三視圖時會出現障礙。

（3）學生在理解三視圖中的邊長關系時出現障礙，原因在于高一學生空間想象力的缺乏。

運用玲瓏畫板的 3D 功能和三視圖功能，我們可以通過設計如下面的兩個模擬實驗輕松解決學生在學習三視圖過程中遇到的障礙。

〖實驗一〗認識三視圖

（1）學生操作電腦，轉動右下角的正方體進行實驗（如圖 23 右下），觀察正視圖（圖 23 左上）、側視圖（圖 23 右上）、俯視圖（圖 23 左下）的變化，理解三視圖中輪廓線和棱的實、虛線的關聯。

（2）學生操作電腦，轉動右下角的切割體（如圖 24 右下），觀察正視圖（圖 24 左上）、側視圖（圖 24 右上）、俯視圖（圖 24 左下）的變化，理解切割體的三視圖。

（3）學生操作電腦，轉動右下角的切割體（如圖 25 右下），觀察正視圖（圖 25 左上）、側視圖（圖 25 右上）、俯視圖（圖 25 左下）的變化，理解割體的三視圖。

圖 23? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 24

圖 25

〖實驗二〗由三視圖還原幾何體

如何由三視圖還原幾何體，是高考的熱點，同時是難點，目前是教師教學過程中的難點（不知道怎樣講清楚，另外，加上空間圖形的作圖難度大，因此，教學難度大），筆者利用玲瓏畫板的切割特性，采用“三度切割”的辦法解決三視圖還原幾何體問題。

〖例 5〗已知某幾何體的三視圖如圖 26 所示，則該幾何體的體積為? ? ? ? ? ? ? 。

根據“三度切割”的辦法，筆者運用玲瓏畫板進行模擬實驗：

（1）創建一個長方體，并運用切割功能進行第一次切割，得到一個三棱柱（如圖 27 的左圖所示），并運用三視圖功能進行驗證（如圖 28 所示）。雖然發現主視圖已經符合條件，但是側視圖和俯視圖不符合條件，需要進行第二次切割。

圖 26? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖 27

圖 28

（2）使側視圖符合條件，接下來按照圖 29 的位置進行第二次切割（割兩刀），得到如圖 30 的左邊的幾何體（右邊兩個是割出來的），并用三視圖功能進行驗證，發現側視圖也已經符合條件，但是，俯視圖不符合條件，需要進行第三次切割。

圖 29? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 30

圖 31

（3）為使俯視圖符合條件，接下來按照圖 32 的位置進行第三次切割，得到如圖 33 的左邊的幾何體（右邊一個是割出來的），并用三視圖功能進行驗證，發現俯視圖也已經符合條件，此時，三視圖還原幾何體大功告成（如圖 34 所示）。

圖 32? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 33

圖 34

實踐表明，“三度切割”的辦法是目前掌握的由三視圖還原幾何體的行之有效的辦法之一。

二、模擬實驗策略的實施路徑

（一）模擬實驗器材的準備。數學和物理、化學不同，物理和化學可以利用大量的實驗器材，通過實驗解釋所學知識，而數學卻沒有。所謂模擬實驗，即利用信息技術把數學知識制作成課件或者軟件，由教師或者學生操作課件觀察、分析，以達到所謂的“實驗”的目的。由此，數學的實驗器材的準備大多數是相關課件的準備。制作相關課件的常用軟件有幾何畫板、geogebra 軟件、flash 軟件、玲瓏畫板等工具，這些工具必須具備這樣的條件：

（1）可操作。必須有相關的“操作按鈕”和操作提示，如“拖動 A 可改變參數”等。

（2）可視化和數字化。實驗的過程可以動態完整地實時呈現圖象及相應的變量值。

如，y=Asin（ωx+φ）的圖象的數學實驗，課件界面如圖 35 所示：

圖 35

（二）模擬實驗報告的準備。既然是實驗，那么就必須知道實驗的目的是什么？如何操作？出現什么樣的現象？可能得出什么樣的結論？這些都必須在實驗之前需要明確的事情。因此，準備實驗報告是進行數學實驗前必須做的一件事。如何做呢？物理化學已經給我們提供了很好的借鑒。例如，y=Asin（ωx+φ）的圖象的數學實驗報告可以寫如下（實驗報告的一部分）：

函數 y=Asin（ωx+φ）圖象實驗報告

實驗目的：通過利用計算機的作圖代替五點法作圖，通過利用計算機的模擬三角函數的變換過程，使通過學生的自主探究的形式讓學生了解 Α，ω，φ 對函數 y=Asin（ωx+φ）的圖象的影響。

實驗目標：利用軟件強大的交互功能幫助學生通過自己設計不同的變換順序，掌握正弦函數圖象的復合變換的規律以及不同變換過程之間的差異并歸納出一般性結論。

實驗工具：1.幾何畫板;2.多媒體平板。

實驗過程：

函數 y=sinx → y=Asinx 圖象

1.作出 y=sinx 圖象

2.作出 y=2sinx 圖象

觀察圖象得到：（提問學生由學生總結）

要得到的 y=2sinx 圖象，只需把正弦函數曲線 y=sinx 的所有點的? ? ? ? ? ?坐標? ? ? ? ? ?到原來的? ? ? ? ? ?倍，? ? ? ? ? ?坐標不變。y=2sinx 最大值是? ? ? ? ?，最小值是? ? ? ? ?，周期是? ? ? ? ?。

（三）模擬實驗過程的全程指導。學生由于對軟件或者課件的操作不熟悉（特別是幾何畫板和玲瓏畫板），比如，操作按鈕是哪個？怎樣操作？觀察哪個數據？和哪個數據進行比較？等等?；蛘哂幸恍W生會“分神”，導致實驗可能出現一些“意外”。因此，在實驗過程中，教師要不斷地進行指導和監控。在實驗之前必須對學生（特別是學習小組的組長）進行必要的培訓，并在實驗前進行課件操作的集體演示，以確保實驗得到順利進行。

（四）模擬實驗結果的總結。由于學生操作能力和觀察能力等方面的差異，實驗的結果可能千差萬別，即使結論基本一致，在結論的表述上也需要進一步規范，因此，在實驗結束前，教師要利用一些時間進行必要的實驗總結。

比如，實驗一結論：

把本節模擬實驗的結論進行歸納總結，形成統一的知識呈現給學生，可以起到畫龍點睛的作用。

長期以來，大家都試圖用信息技術來改進數學知識的呈現方式，改進學生的學習方式。研究發現，數學實驗是眾多方式中效果比較突出的方式之一。本課題組通過對研究成果進行總結，并結合多年的教學數學實驗所提煉出的可操作的“程序”，提出了這些具體的實驗措施，拋磚引玉，以便共同研討與提高。

【基金項目】廣西教育科學“十三五”規劃2019年度B類課題“信息技術與數學課堂深度融合的策略研究”（2019B144）。

（責編 盧建龍）