一道三角形面積最值的多角度賞析

沈培玲

(江蘇省前黃高級中學 213161)

該試題是2017～2018學年第一學期江蘇常州高三期末考試第14題，位于填空題最后一題，區(qū)分意味明顯，可以看成是考查三角問題，也可以看成是考查圓的問題，是研究一題多解，一題一課的好題.本文將從以下幾個不同角度進行分析.

視角1 由等腰三角形聯(lián)想到建系坐標處理.

解法一坐標化+軌跡思想處理(兩圓有交點).

由3PA2=3?PA=1,說明點P在以A為圓心，半徑為1的圓上，記為圓O1；

解法二坐標化+三角函數(shù)處理(方程有解).

視角2 以點A分析，找點P的軌跡及B,C的軌跡.

解法三軌跡法+幾何法處理.

因為PA=1，所以點P在以A為圓心，1為半徑的圓上.

視角3 兩次余弦定理，借助三角恒等變換即可求出∠BAC正弦的最大值.

因為PB2=PA2+AB2-2PA·ABcosα;PC2=PA2+AC2-2PA·ACcosβ,

(部分學生就是猜的這個位置做對的，理由對稱輪換是當PB=PC時取最值)

視角4 本題可以轉化為求向量AB與向量AC的數(shù)量積的最小值.

試題的講評應充分考慮學生的數(shù)學能力的差異，一題多解給學生提供了較大的發(fā)揮空間.挖掘問題的本質，關注解題反思是一種高效的學習之路.