立足圖像表征 凸顯面積計算本質

白丹娜

摘 要：圖像表征是學生建立概念、理解概念的有效方式。借助圖像表征不僅可以幫助學生推導、理解面積計算公式，更能幫助學生深化面積本質，溝通平面圖形面積計算的聯系，建立空間觀念。筆者以《長方形和正方形面積的計算》為課例，從解構——提取——演變——創建圖像表征四個方面來闡述如何讓學生完善面積概念、理解公式內涵、內化計算本質、拓展應用途徑。

關鍵詞：圖像表征;面積計算;小學數學

面積計算是學生進一步理解面積含義，并對面積概念進行應用、提升的過程，更是建立空間觀念的學習載體。小學中高段的學生的思維還處在向抽象思維與抽象概括能力發展的過渡期，對面積計算的推導、空間觀念的建立還需要具體的圖像表征來支撐。立足于圖像表征，學生才能有效開展對比、溝通、優化、遷移等活動，理解面積計算的本質。

研究發現，學生在經過一系列的教學活動之后能順利得出公式并理解公式內涵，而經過一段時間后，大部分學生只記得公式與活動內容，卻無法用語言描述公式的本質內涵。那么，如何讓學生對面積計算本質的理解不僅停留在課堂中，還能長留于今后的學習中？筆者認為，圖像表征彌補了語言描述概括的抽象性的弊端，用更直觀的方式體現了面積計算的本質。學生借助圖形建構起文字與圖形的聯系，讓學生在今后的面積學習中，用圖像代替語言，用圖像促進理解，用圖像加深記憶。

一、解構重組，完善面積概念

在建立面積概念的教學中，學生對面積的認識建立與具體事物上，而后續的教學重點是對各種平面圖形的面積計算。因此，完善平面圖形的面積概念顯得尤為重要。借助對圖形的分割、組合、平移等活動，讓學生認識到單位面積與面積之間的關系，凸顯面積計算的本質。

師：你是怎么比較的？

生：把多出的格子移到少的那邊，這樣就變成跟右邊一樣的圖形了。

師：用以多補少的方法，也變成長方形，這個圖形面積的大小不變。

師：還有其他方法嗎？

生：數里面的格子。

師：小方格的個數相同，表示的面積也相同。

師：如果1個正方形的面積是1平方厘米，這兩個圖形的面積是幾平方厘米？

生：8平方厘米。

師：為什么是8平方厘米？

生：因為里面有8個小正方形，所以是8平方厘米。

師：如果1個正方形的面積是1平方分米呢？（8平方分米）

師：都是這兩個圖形，怎么一會兒8平方厘米，一會兒8平方分米呢？

師（小結）：也就是說，一個圖形里面有幾個1平方厘米、1平方分米，它的面積就是幾平方厘米、幾平方分米。單位面積不同，整個圖形表示的面積也不同。

上述案例中，借助方格圖，學生經歷了兩個層次的面積概念認知。第一層次：借助方格圖對圖形中的方格進行平移、拼補、拆分，讓學生感受到圖形的面積與圖形中的小方格的個數有關，與圖形的形狀無關，滲透了面積的守恒性，初步架構起學生對單位面積與面積之間的聯系。第二層次：根據每一個方格表示的單位面積的不同，圖形的面積也會發生變化，學生進一步體會到面積的大小與單位面積的大小有關，將兩者的關系在方格圖中建立起來，加深了學生對面積的認識。

可見，借助熟悉的圖像表征，學生能將面積含義、單位面積、面積計算這些零散的知識進行溝通、聯系，建構起知識之間的相互聯系，完善面積的認知。

二、提取要素，理解公式內涵

完善面積概念是進行系統學習面積知識的起始，是進行面積計算的基礎，而了解單位面積與面積之間的關系是探究面積公式本質的關鍵。面積公式是面積計算方法的優化結果。教師如何在面積公式的推導中，讓學生逐步感悟這個優化過程，理解公式的內涵呢？筆者認為，面積公式的推導過程就是一個提取要素的優化過程，而這個優化、提取的過程學生無法用語言進行準確的描述與表達，但在具體的圖像中，學生通過觀察、比較，能直觀看到關鍵要素，也就更容易提取與理解。

案例二：長方形面積公式推導過程：

1. 小組反饋測量長方形面積（長5厘米，寬3厘米）的方法：

（1）理解鋪法

師：為什么一行只能鋪5個，能鋪3行？

生：因為長是5厘米，寬是3厘米。

2. 擺長方形求面積，找長、寬

師：你擺的長方形的長是幾？寬是幾？

生：長是5厘米，寬是2厘米。

師：你是怎么知道的？

生：因為一個正方形就是1厘米。一行有5個正方形，就是5厘米，豎的有2個正方形，寬就是2厘米。

生：一行擺了5個，長就是5厘米;一列有4個，寬就是4厘米。

師小結：只要知道一行有幾個，有幾行，就能知道長和寬。

生：因為長是6厘米，一行能擺6個。寬是4厘米，表示能擺4行。

4. 觀察表格，抽象出面積公式。

生：長和寬相乘的得數與面積相同。

生：長乘寬就是長方形面積。

師：長、寬是長度，怎么相乘就變面積了呢？

生：長表示一行有幾個，寬表示有幾行。

師：也就是說長和寬相乘的得數與小正方形的個數相同。

上述案例中，學生經歷了4個活動推導出了長方形面積公式，每一個活動就是一個提取要素的過程。4個過程環環相扣、層層遞進，引領學生利用網絡圖、表格圖征抽象出公式，并理解其內涵。

（一）網格圖中提取行列要素

學生通過在長方形中鋪小正方形的活動，得到了這兩種網格圖，初步感知到長是幾，一行就有幾個小正方形，寬是幾，一列就有幾個小正方形，并通過比較，將方格圖優化成行列式的網格圖。在優化過程中提取出行列要素，讓學生關注一行、一列的小正方形個數，來求小正方形的總數，即長方形的面積，從而初步感悟到長方形面積就是小正方形面積之和。

（二）長方形拼圖中提取長寬要素

學生在第2個活動中進行了擺長方形的實踐操作活動，并利用2種不同形式的長方形尋找長寬。從尋找長寬，正是長寬要素提取的過程。通過提取長寬，讓學生感悟到一行有幾個小正方形，長就是幾，一列有幾個小正方形，寬就是幾。與第1個活動的思維相反，幫助學生建立起長寬與行列之間的關系。

緊接著在第3個活動中，讓學生經歷的想象過程，對圖像再次優化，讓學生進一步關注長寬與行列之間的關系，理解長寬在面積計算中的含義。

（三）表格圖中提取關系要素

學生從理解長寬的含義到理解公式內涵還有一段的距離，教師還需要幫助學生打通兩者的關系。借助表格圖教師便能將兩者之間的關系外顯出來，建立起圖與文字的關系，將文字表示的關系外化成圖像，有助于學生發現和理解公式的內涵。

在第4個活動中學生通過表格中多個長方形面積計算的數據，對比發現長寬與長方形面積的關系，抽象出長方形的面積公式。同時，追問“長和寬表示的是長度，怎么相乘后變成了面積？”進一步讓學生思考長寬的含義與面積的關系，并將這種聯系以文字和圖示的形式表示出來。如下圖，借助了圖示，學生將公式中長、寬、面積與行、列、總個數之間進行相互溝通與理解，從而理解公式內涵。

學生經歷3個要素的提取，從感悟長方形面積與小正方形面積之和的關系，到理解長寬在面積中的含義，最后到打通相互間的關系，理解公式內涵。并且通過圖像的形成、優化、理解三個活動，將公式內涵以圖像和文字兩種形式呈現，幫助學生初步認識面積計算的本質。

三、演變推理，內化計算本質

一種圖像表征的建立，通常是在指定的教學活動中或情境中進行，而這種圖像表征是具有特定性、唯一性的，甚至會造成思維定勢。在面積計算的教學課例中，教師采用的單位面積常常是1平方厘米，形成的圖像中的方格也是以1平方厘米的為例，但要讓學生真正體會到面積計算的本質是計算單位面積的個數，同時單位面積是多種形式的，就需要我們對建立的圖像表征進行變式，豐富學生對圖像作用的認識，從而理解面積計算本質。

【變式一】“平移”重組圖像

這個長方形的長是（? ）厘米，寬時（? ）厘米。面積是（? ）平方厘米。

【變式二】“擴大或縮小”測量單位

一行能鋪（? ）個正方形，能鋪（? ）行。長方形面積是（? ）平方厘米。

上面兩種變式中，主要達到兩個目的。第一個目的：第一種變式中改變了圖像中小方格的位置，讓學生更關注長寬與方格邊長數之間的關系，從而進行平移重組圖像，豐富學生對圖像的認知。第二種變式中改變了測量的單位面積，主要目的是打破認為只能用邊長是1厘米的正方形才能測量的思維定勢。第二個目的：在面積計算時，既可以用面積公式計算長方形面積，也可以用求小正方形面積之和來計算長方形面積，在兩種計算方法的對比中讓學生進一步體會公式的內涵，理解面積計算的本質。同時感受到面積的守恒性，深化面積概念。

四、多元創建，拓展應用途徑

圖像表征能幫助學生在解決面積問題時，更易找到解決面積問題的關鍵與方法，拓展思考途徑與方法，也更關注面積計算的本質，全面認識面積度量。

案例四：解決問題（草坪是一塊塊的草皮拼起來的，每塊草皮是邊長6分米的正方形。用這樣的草拼25塊，能鋪多大面積？）

從上面學生的作品中我們可以發現：（1）圖像相同，面積計算的方法不同。作品1和作品2都創建了長方形圖形，但作品1采用了求小正方形面積之和的方法，作品2采用了長方形面積公式的方法。兩位學生方法不同，得到的結論卻相同。有助于學生豐富面積計算的方法，杜絕方法的單一性，拓展解題途徑，也讓學生認識到面積的守恒性。（2）圖像不同，面積計算的方法相同。作品1和3圖像不同，但都采用計算小正方形面積之和的方法，而作品2和4根據圖像，得到25塊草坪拼成長方形或正方形，都利用面積公式進行計算。通過不同圖形之間抽象出相同的計算方法，可以讓學生深刻感悟到面積計算的方法的應用范圍之廣，也對面積計算本質的認識再次深化與理解。

總之，對面積計算本質的理解從以文字描述為主的方式轉變為以圖像表征為主的方式，更符合學生的認知心理。立足于圖像表征，讓學生更直觀、簡易地理解公式內涵，真正做到將本質內涵內化與外化互通，完善概念的理解，提升面積計算本質的理解與運用。

參考文獻

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