專業自主“用教材教”，重組學材同課異構
——對兩節“一元二次方程起始課”的評析

☉江蘇省南京師范大學蘇州實驗學校 王 龍

最近觀摩兩節“一元二次方程起始課”的同課異構，教師都能發揮專業自主性，源于教材、高于教材，做到學材再建構，課堂上從學生已有認知出發，“漸次豐滿”學生的已有經驗，層層遞進，推進學程，均取得較好的教學效果.當然，教學是遺憾的藝術，總還有一些教學設計與習題選擇值得商榷，本文先整理兩節課的教學流程，并給出評課意見，供研討.

一、兩節一元二次方程起始課的教學概述

課例1：一元二次方程起始課

教學環節（一）基于學生已有經驗引出新知

問題1：同學們對一元一次方程有哪些認識？請先在小組內交流一下，再大組匯報.

問題2：先給出3個不同的一元二次方程，讓學生發現與一元一次方程有什么共同點，有什么不同點，未知數的個數和最高次數各是多少.

教學組織：學生觀察后歸納出共同特征，類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.

教學環節（二）歸納一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理得到如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0），這種形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項.講評時，可以類比一次函數的一般形式，引導學生對比概念之間的聯系.

接下來，安排一組練習引導學生辨析、鞏固概念.

問題3：以下方程是否為一元二次方程？如果是，請說說二次項系數、一次項系數和常數項；如果不是，請說明理由.

（1）4x2=81；（2）2（x2-1）=3y；（3）3x（x＋1）=4（x＋2）；（4）；（5）關于x的方程mx2-3x+2=0（m≠0）.

變式題組：（1）若（a-1）x2+ax-1=0是關于x的一元二次方程，那么a的取值范圍為______.

（2）已知關于x的方程（|a|-1）x2+（a-1）x-1=0.

①若它是關于x的一元二次方程，求a的取值范圍；

②若它是關于x的一元一次方程，求a的值.

（3）已知關于x的方程（a-1）x|a|+1+ax-1=0，當a為何值時，該方程是一元二次方程？

教學環節（四）一元二次方程的根的意義

問題4：下面哪些數是方程x2-x-6=0的解？

-3，-2，-1，0，1，2，3.

問題5：已知x=1是關于x的一元二次方程2x2＋kx-1=0的一個根，求k的值.

跟進練習：利用平方根的意義解簡單的一元二次方程.

（1）x2-27=0；（2）（x＋3）2=5；（3）x2-2x+1=16.

教學環節（四）小結與作業（略）

簡評：這個課例通過回憶建構研究方程的基本模型，通過類比自主建構一元二次方程的定義等相關概念，合作探究簡單的一元二次方程的解法，從學生已有的一元一次方程經驗，類比得出一元二次方程的概念，并共同歸納出一般形式，定義了一元二次方程根的概念，引導學生發現一元二次方程的根并不具有唯一性.作為學材重組的追求，教師沒有停留在“照本宣科”的層次，而是繼續組織學生利用直接開平方解形如（x＋q）2=p（p≥0）的方程，為后續學習方程的解法奠定了基礎.從課堂教學過程來看，這節課的教學重點仍然是一元二次方程及其有關概念.當然，該課例中也有一些習題的導向不當，比如，“問題3”之后的變式題組就是不恰當的，是對概念教學的歪曲理解，屬于人為編造的“垃圾題”“劣質題”，因為這類習題不能體現數學概念的本質屬性，只是讓學生感覺數學習題的“無趣”與“坑人”.

課例2：一元二次方程及其解法

教學環節（一）精選生活現實，列出方程引入課題

開課后先用PPT出示生活問題：如何用一張長16cm、寬12cm的硬紙片做成一個底面積為96cm2的無蓋的長方體盒子？

教學組織：學生列出方程解決，出現一個陌生的方程，教師可給出一個方程2x-1=3，讓學生回顧這是一元一次方程，復習一元一次方程的概念，并比較兩個方程是否相同，引導學生根據以往的學習經驗給這種新的方程取個名字（一元二次方程），引出課題，教師板書.

教學環節（二）類比歸納，生成新知

師：能嘗試給一元二次方程下個定義嗎？

①只含有一個未知數；②未知數的最高次數是2（注意是合并同類項之后）；③整式方程.（教師完善一元二次方程的定義的板書）進一步指出，一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0），這種形式叫作一元二次方程的一般形式.

鞏固訓練：

題1：關于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？說明你判斷的依據.

題2：將下列方程化成一元二次方程的一般式，并說出各項及二次項、一次項的系數：

①（x+1）2-2（x-1）2=6x-5；②3x（x-1）=（x+2）-4；③（x+2）（x-4）=7.

教學環節（三）探究特殊形式的一元二次方程的解法

問題：以x2-4=0為例，來研究一元二次方程的解法.

教學組織：根據之前乘方、開方互為逆運算的經驗，請學生嘗試解這個方程.

變式跟進：小組研究方程3x2-5x=0和x2-2x-15=0的解法.

教學組織：學生聯想到利用因式分解來降次，轉化成兩個一元一次方程求解.針對學生探索出來的解法進行評析，引導學生說明是如何解出的，悟出并歸納概括解一元二次方程的基本思想——降次.

教學環節（四）課堂小結，檢測反饋（略）

簡評：這節課開課階段選擇從生活現實出發，引導學生列出一元二次方程后，類比一元一次方程來定義，并通過題組進行新知的訓練，然后從特殊的一元二次方程出發，讓學生運用直接開方法求解，在此基礎上研究較為復雜的一元二次方程的解法，學生獨立摸索出因式分解降次求解之后，引導學生感悟并概括“降次”是高次方程求解的關鍵.

二、評課與商榷

1.踐行“用教材教”，基于學情重組教材

兩節課都體現了教師的專業自主意識，沒有拘泥于教材第1小節的內容，大膽重組教材內容，使得學習內容較為充實，而不是以大量的訓練一元二次方程的定義、解的定義的習題來延長教學時間.從教學內容的選定也可看出這些教者基于學情精心設計教學內容的良苦用心，從教學效果來看，學生在這些問題的驅動之下，自然而然得出定義、解法等教學內容，說明教師“用教材教”是成功的.

2.習題變成“問題”，問題驅動推進學程

相比較而言，“課例1”是以很多“問題串”來驅動學程，教學進程緊湊，學生的思維被充分調動，并“卷入”到課堂教學中來，思維含金量高，比如，獨立思考的人數多，且獨立思考的問題有質量，在思考之后學生在小組內能夠有效合作，合作學習質量高，隨后在全班交流中，學生能積極主動展示，形式多樣，展示規范有質量.相對而言，“課例2”中學生的活躍度不及“課例1”，可能與預設的問題有關，比如，有些問題過分簡單，有些問題偏難，特別是解法探究的最后階段，涉及兩個需要因式分解的一元二次方程，較有難度.建議選取能運用直接配方法求解的一元二次方程，這樣學生可以從直接開方法拾級而上，想到配成完全平方式，再運用開方法求出方程的根.

3.課堂小結值得重視，加強前后關聯呼應

從兩節課來看，課堂小結都比較常規，無甚新意，所提小結問題也多是泛泛而談，沒有體現“聚意點睛”和“生長發展”的小結特點.比如，我們可安排學生回看本課所學，從什么問題出發？如何得到新的概念？基于怎樣的“研究路徑”開展這節課的研究或學習？研究過程中遇到了哪些困難？是如何攻克這些困難的？還有哪些問題需要繼續研究？我們可以運用怎樣的方法繼續開展研究？本課解題練習中哪道習題給你留下了深刻的印象？你有怎樣的解題經驗與同學們分享？這樣來設計課堂小結問題，就可以使得學生能對本課所學進行全面的回顧和反思，前后的教學環節得到了關聯與呼應，而且對后續學習展開了眺望，追求“生長式小結”，是值得我們積極踐行的.