基于“一題一課”微專題下的深度教學*
——以“一道數學高考題引發的思考”示范課為例

☉四川師范大學數學科學學院 孫 佳

☉四川師范大學數學科學學院 張 紅

一、引言

智能機器的出現和挑戰，讓我們不得不思考：如何在課堂上實現教師的教育價值，實現“人”的教育？如果從學科本身、數學內容、教師角色三個角度來思考“深度教學”的話，深度教學是體現數學學科本質，直擊數學知識核心、反映教師教學有效程度的一種教育模式，以促進學生的深度學習.從教師的角度來講，深度教學是讓學生進行深度思維的教學.而深度教學的對象是學生，于學生而言深度教學則是以構建學生高階思維發展，以及以學生關鍵能力的獲得為方向的一種集認知、技能、情感為一體的數學學習過程.關于深度教學，我們的理解就是把一些重要內容“教活、教透、教深”.

那么如何改進如今的課堂教學，從而來幫助學生培養和發展核心素養呢？打造“深度”數學課堂則要關注學科本質，注重價值觀的形成、知識與經驗的整合以及社會適應能力等.通過微專題下的深度教學，教師一方面可以建構適量數學知識內容之間的聯系，幫助學生理解知識本質，從而形成良好認知結構；另一方面可以融知識于應用之中，提升學生解決問題的能力.筆者將基于成都市C中學K老師的一堂示范課，探討如何在深度學習理念下進行“一題一課”的深度教學.

二、案例描述

課前K老師將任務布置給學生，要求學生以小組合作的方式，探究盡可能多的解法，并在課堂上進行展示.接下來，筆者將用“選擇性課堂實錄”法對課堂上學生的精彩表現進行描述.

題目若函數f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關于直線x=-2對稱，則f（x）的最大值為______.

片段一：教學過程注重邏輯推理的引導

此片段是教師在引導學生對問題進行拆分后并求參數的值時，期望學生從多角度去思考問題，進而提升學生的邏輯推理能力.

師：接下來小組討論并分享求a，b兩個參數有哪些不同的求解方式？哪些同學來分享一下.

生A：第一步是求函數的解析式，就是確定a，b的值.我們組想到了三種方法：特值法、導數法、零點法.

師：請具體地說一下過程.

生A：對于特值法，因為函數圖像關于x=-2軸對稱，所以我們可以在函數圖像上任取關于x=-2對稱的兩點.

師：你取的是多少呢？

生A：-1和-3，1和-5.然后就構造了兩個方程式f（-1）=f（-3），f（1）=f（-5），從而解出a和b的值.這是第一種方法.法二是導數法，因為原函數圖像關于x=-2軸對稱，所以它的一階導數就關于（-2，0）中心對稱，二階導數就關于x=-2軸對稱.然后把函數的一階導數和二階導數分別求出來.

師：（板書）也即由方程f′（-2）=0，f″（x）關于x=-2對稱，即可求出a，b的值.

生A：法三是零點法.我們觀察原函數的結構可以知道它有兩個零點x=1和x=-1，又因為它是關于x=-2軸對稱，所以我們根據對稱得出它還有另外兩個零點x=-3，x=-5.然后x=±1是函數結構右側的兩個零點，則x=-3，x=-5就是函數結構左側的兩個零點.從而可列出表達式，求出a，b的值.

片段二：教學過程注重對教材內容的深度挖掘

此片段是老師在引導學生運用導數法求最值時記錄下來的，由于導數法是通法，但求導函數的零點時遇到了障礙，有一個三次代數式，要求其零點，就需要對三次代數式進行因式分解，對于三次方程的因式分解，學生是如何處理的呢？

師：對于函數的零點有哪些方法求解呢？

生B：因為這個函數圖像關于x=-2對稱，所以它的一個極值點是-2，又因為它是一個三次函數，所以得到一個根為-2，我們可以用短除法求解.（上臺演示）

師：很好，還有其他方法嗎？

生C：還有一種方法就是運用三次方程的韋達定理.

師：三次方程的韋達定理，在哪里出現過？

生C：選修2-2的113頁.

師：請大家把教材拿出來，這是教材閱讀的內容.

生C：因為這個導數剛好是三次，所以可以用此公式來找到另外兩根.

師：這位同學就是用書上的公式來得到另外兩根的.這也提示我們當遇到一些因式不便分解的時候，我們可以運用公式，但前提是我們把教材上包括閱讀、探究的內容仔細研究了，并用心體會了，這樣才可以使問題得到解決.

片段三：教學過程注重激發學生的創造性思維

此片段是在處理函數最值時，學生創造性地將函數與“海倫公式”進行對比，運用三角形面積的最值來求函數的最值問題.

師：除了運用導數法處理函數的最值之外，還有什么其他方法呢？

生D：（上臺演示）我還用了另外兩種方法，有一種就是運用“海倫公式”來求解的.

師：海倫公式主要是處理什么的？

生D：三角形的面積.這里我們把（fx）變形為（fx）=（1-x）（1+x）（x+3）（x+5），就可得到四個一次的因式.而剛好海倫公式里也有四個一次式，所以令p=x+5，代入（fx）里面，然后就可以得到這樣一個式子s（p）=，把它想成三角形的三條邊，就可以計算出三角形面積的最大值為.所以（fx）=s2=16.

師：講的很清楚（一片掌聲）.如果對這個公式不熟悉的同學可翻到《必修5》21頁的“閱讀與思考”.大家觀察這個式子的結構，思考為什么要用海倫公式去求解呢？（停頓一下）是不是其結構都是四項的乘積啊？但海倫公式里面出現的這些字母p，a，b，c是有具體含義的.p是它的半周長，a，b，c是三邊長.其實在這個解法里面我有一些疑問：生D把x+5令成p的意思就是默認了x+5就是四個值里最大的.那它是四個值里最大的嗎？

生D：（遲疑了一下）是啊！

全班：不一定.

師：x+5可以確定是x+1，x+3，x+5里面最大的，但是1-x和x+5其實是可大可小的，所以應該是不一定的，但是我們這樣操作下來，答案又是對的.那這個原因是為什么呢？我們看看有沒有其他同學可以幫助你.

生E：因為海倫公式的四項里有p，p-a，p-b，p-c，且都具有幾何意義.我們構造的是1-x，x+1，x+3，x+5.我們將其分別相加得4p-（a+b+c）=2p和2x+10，則2p=2x+10，所以p=x+5.又觀察到f（x）是關于x=-2對稱，剛才圖像的描繪中，可以看到當x∈（-1，1）時，它的圖像是在x軸的上方.同樣，x∈（-5，-3）時，圖像也在x軸的上方，故也是大于零的，則f（x）的最大值肯定在這兩個區間內，又因為對稱性，所以只需考慮x∈（-1，1）這個區間，而在這個區間，p=x+5大于1-x，故x+5是最大的.

師：非常好，解釋得很清楚.所以如果我們要運用海倫公式，就要認清它的性質與條件.我們把所有元進行替換后，就完全變成了海倫公式這個結構了，得到了這樣一個數學模型，從而使問題得到解決.

三、案例分析

C中學開展的“數學教育系列活動”結束后，各位專家及學者都對本節課給予了高度的評價.其主要在于：

1.素材的恰當選擇，讓教學有“效度”

本堂課執教的K老師現任教高三，教學經驗豐富，對課堂有良好的把控力，以2013年新課標全國卷Ⅰ的一道“求函數的最值問題”的填空題為例題，課前布置給學生，探索出題目的多種解法.讓學生在課堂上分享研究成果，教師提煉數學思想方法.是一堂以學生為主體，把課堂交給學生的一次嘗試.高三的學生需要怎樣的課堂？作為一名高三老師能夠給學生怎樣的課堂？2017年高中新課程標準中強調“以學生的能力考查立意”，那么如何在課堂中實現這一目標呢？據K老師回憶，這道題第一次引起她的注意是在學校的一次數學測試中，學生完成情況較差，且得分率低.于是K老師找學生談話，又對這道題進行評講之后，發現這個題可以從背后挖掘出許多內容，有基礎知識考查，有題目結構的分析，而且還蘊含著豐富的數學思想方法.第二次是數學備課組外出學習，多次講座中有老師以此題為背景來探討其中的數學韻味，故其再次引起K老師的注意，于是選擇了這個題目作為載體.一開始K老師認為這只是一道考查函數最值問題的題目，后來發現2017年高考數學全國Ⅲ卷中的第12題也是考查函數的題目，并發現這兩道題具有相通之處.于是，K老師將之前的課題《形式多異的最值》改為了《對一道高考題引發的思考》.

2.教學知識的靈活運用，讓教學有“深度”

在人教版教材必修1中已經學過函數的基本性質，在選修2-2中已經學過導數及其應用.對于常規的函數問題，學生已具備基礎，也有常用的研究方法.但是對于“新題、活題、創新題”，大多數學生感到束手無策.而為了幫助學生實現知識的遷移并對知識進行靈活地運用，探究簡潔高效的解法就是“一題一課”教學模式的意義所在.數學“一題一課”微專題是數學課堂教學推廣的一種教學方式，本堂課為了幫助學生理解函數的最值及幾何意義，一方面通過運用函數圖像，另一方面利用導數研究函數的最值來提高學生的邏輯推理能力，從而逐步培養和發展數學抽象概括、數學運算、直觀想象以及數據分析、數學建模等核心素養.課前學生開展小組合作學習，在這個過程中養成團隊意識.課堂上教師運用對比、啟發、歸納、總結等教學方法來幫助學生理解，從而使學生能夠在“一題多解”與“多題一解”之間游刃有余.

3.學生的創造性表現，讓教學有“寬度”

本堂課雖然只研究了一道題目，但是這道題目所延伸出的內容是遠遠超出預期的.學生由一道求函數最值題聯想到三次方程的韋達定理以及求三角形面積的海倫公式，這是建立在深度學習的基礎上才能有如此創造性的表現.其中對課本的鉆研就是其中之一，“三次方程的韋達定理”在中學對學生是不作要求的，但是具有深度學習品質的學生通過對課本深度地研讀，發現了課本中被大多數同學所忽視的“閱讀與思考”內容，而在解決實際問題時又能夠靈活運用，將知識轉化為能力，這才是學習的本質所在.另外，創造性思維絕不是循規蹈矩就能夠養成的.學生在對函數進行變形時能夠發現與海倫公式的相似之處，并能夠正確地運用它，這恰好驗證了數學的學習一定是系統的，并能夠尋找到事物的相通之處，進而建立數學模型，再反過來應用到實際生活中.