復習與“試”俱進 探究與素養齊飛
——以圓錐曲線內接直角三角形斜邊過定點為例

☉江蘇省常熟中學 陶 冶

近年各地的高考數學試題的亮點非常多，如何把高考題整合到教學當中，更好地發揮高考題的作用呢？本文選擇2017年全國卷Ⅰ文科20題和全國卷Ⅲ理科20題作了一些思考，研磨并設計了微專題，為高三復習提供一些參考.

題目1（2017年全國卷Ⅰ文科20題）設A，B為曲線上兩點，A與B的橫坐標之和為4.

（1）求直線AB的斜率；

（2）設M為曲線C上一點，曲線C在點M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

題目2（2017年全國卷Ⅲ理科20題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點O在圓M上；

（2）設圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

圖1

一、兩道題的共性

卷Ⅰ的第20題，可求出拋物線內接直角三角形的直角頂點坐標，再探求斜邊的直線方程.卷Ⅲ的第20題，已知拋物線的動弦過定點（2，0），求證∠AOB=90°.兩題都是拋物線內接直角三角形的問題.如果把它們推廣為一般的拋物線，可得互為充要條件的逆命題.

命題1：設A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y2=2px上異于原點O的兩個動點，則∠AOB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經過定點M（2p，0）.

渠道營銷的有效構建，對公司的發展壯大有著積極的影響作用。作為中小型紡織企業的代表，南通鵬越紡織有限公司的渠道營銷主要有電話營銷、網店營銷、常設聯絡點營銷和積極的對外溝通交流營銷等渠道。電話營銷是南通鵬越紡織有限公司與客戶直接溝通的方式，直接在電話中確定訂單數和接單生產，這種訂單生產模式是傳統的營銷模式，建立在一定的誠信和保障基礎上。網店營銷，是南通鵬越紡織有限公司緊跟網絡發展和時代要求，而設置的網上店鋪，主要將自己的主打產品，面向全國供選擇，在網絡上直接與客戶溝通交流、訂單接單、生產供貨等。

二、命題的推廣

命題1的推廣

命題2-1：設P（x0，y0）是拋物線y2=2px上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經過定點M（x0+2p，-y0）.

命題2-2：設P（x0，y0）是拋物線x2=2py上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經過定點M（-x0，y0+2p）.

命題2-3：設P（x0，y0）是拋物線y2=ax（a≠0）上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經過定點M（x0+a，-y0）.

命題2-4：設P（x0，y0）是拋物線x2=ay（a≠0）上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經過定點M（-x0，y0+a）.

命題2系列在橢圓中的推廣

命題3：設P（x0，y0）是橢圓上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該橢圓上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經過定點）.

圖2

分析：怎樣發現定點？通過兩個特殊位置找交點.當A（-x0，y0），B（x0，-y0），AB所在直線方程為y=.當AP的斜率為1，BP的斜率為-1時，有k·k=ABOP

設直線AP的直線方程為y-y0=k（x-x0），代入1中，得（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a［2（y0-kb2］=0，

所以kAG=kBG，且直線AG與BG又有公共點G，所以AB過定點G.

當直線AP的斜率不存在或者為零時，結論成立.

命題3的特例：當橢圓變為圓時，a=b，橢圓的中心也就變為圓心，動弦AB則變為圓的直徑，動弦AB過定點圓心O（0，0），所對的圓周角∠APB=90°.結論依然成立.

如何上好復習課，使得高考復習更加聚焦核心素養，更好體現數學思想和理性精神？研究高考題，設計微專題，讓學生在一個由淺入深、由此及彼的系列探究中獲得能力的提升和精神的培育是一個行之有效的路徑.例如在拋物線動弦過定點問題的系列探究中，讓學生經歷一系列既熟悉又新奇的數學發現過程，既滿足了學生的好奇心，又在推理的過程中提高了學生的抽象概括、邏輯推理、數學運算的能力.

在系列問題的探究中，讓學生真正感受到怎樣發現問題，怎樣思考問題，怎樣表述問題，怎樣解決問題.當學生沉浸在數學問題的探究過程中，邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養就在不知不覺中得到提高，學生發現問題的意識也因此得到加強.

如果學生的探究興趣依舊很高昂，不妨鼓勵他們在雙曲線中作類似的探索，也許他們能夠找到更多有趣的結論.

在項鏈模式的微專題的探究中，讓學生經歷每一個微專題的系列探究，不僅可以鞏固數學知識，更重要的是在尋找思路、實踐操作、邏輯推理、數學抽象和反思總結的探索過程中，經受住字母運算的煩瑣考驗，捕捉到問題變化中的本質特征，體驗到數學發現、數學推理的快樂，這些能給學生的心理和情感帶來積極的能量，形成良好的內心經驗.在與同伴、老師的交流中，獲得認可，提高自信，提升素養.真正做到用數學的眼光觀察世界、用數學的思維研究世界、用數學的語言表達世界.

研究高考題，打造微專題，可以達到復習與“試”俱進，探究與素養齊飛的效果.W