中學數學中的無窮級數問題*

☉廣東省佛山市順德區廣東碧桂園學校 李傳洲

☉武漢晴川學院計算機學院 楊 艷

一、前言

合情推理是數學里面非常重要的推理方法，它包含歸納和類比兩種推理方法，在數學研究中，合情推理常常能幫助我們猜測并發現一個新結論；在證明一個數學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.法國數學家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）曾經說過：“即使在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比.”

但是合情推理所得的結論是需要證明的，這正是數學區別于其他學科的顯著特點.美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（1887-1985）說過：“合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的.”合情推理所獲的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠.例如，法國數學家費馬觀察到

221+1=5，

222+1=17，

223+1=257，

224+1=65537

都是質數，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如22n+1（n∈N*）的數都是質數.這就是著名的費馬猜想.半個世紀后，善于計算的歐拉（Euler）發現，第5個費馬數

F5=225+1=4294967297=641×6700417

不是質數，從而推翻了費馬的猜想.

在中學數學的教學中，類比和歸納的推理方法有著廣泛的應用，如數學歸納法、立體幾何與平面幾何的類比、向量與數的類比、無限與有限的類比等等.本文將著重討論中學數學的實際教學中無限與有限類比時所產生的問題與困惑，以及如何利用無窮級數來解決所產生的問題.

二、無限求和與無窮級數

在學習有理數概念的時候，我們需要討論無限循環小數是否是有理數，關鍵在于無限循環小數能否轉化為分數形式.如0.134513451345…能否轉化為分數？中學或小學階段老師所教的將循環小數化為分數的方法如下：

問題1：如何將0.134513451345…化為分數？

解：假設x=0.134513451345…

則10000x=1345.134513451345…

將兩個等式相減得9999x=1345

上述方法中讓10000x與x的無限小數部分抵消了，思考這樣做是否合理？

受到這個問題的啟發，有很多學生又提出了新的問題，問題如下：

問題2：“令S＝1+2+4+8+…，則2S＝2+4+8+…，那么S-2S＝1.”到底S與2S誰大？

上述兩個問題在計算時用到了同樣的方法，但第二個卻出現了矛盾，這是為什么呢？如果老師不能合理地解釋這兩個問題，想必在學生心中教師的權威也會降低不少吧.

本質上，上面兩個問題都可以看成是無窮級數的問題.在中小學階段，由于所學知識有限，只進行有限求和運算，而對于無限求和當然是不涉及的.數學是嚴謹的，由問題2可知，有限求和法則不一定適合無限求和的運算，那么我們應該如何處理無限求和運算呢？本文關于無限求和運算的討論主要針對上述兩個簡單的問題.

定義1：給定一個數列{un}，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式

稱為數項級數或無窮級數（常簡稱為級數），其中un稱為數項級數（1）的通項.

數項級數（1）也常寫作：或簡寫為∑un.

數項級數（1）的前n項和，記為

稱它為數項級數（1）的第n個部分和，也簡稱為部分和.

定義2：若數項級數（1）的部分和數列{Sn}收斂于S（即limSn=S），則稱數項級數（1）收斂，稱S為數項級數（1）n→∞的和，記作S=u1+u2+…+un+…或S=∑un.

若{Sn}是發散的，則數項級數（1）發散.

例1討論等比級數（也稱為幾何級數）

的收斂性，其中|q|＜1，a≠0.

回到問題1，可以將0.134513451345…寫成無窮級數的形式，

0.134513451345…=0.1345+0.1345×10-4+0.1345×10-8+…+0.1345×10-4n+…

由例1可知，這是一個等比級數，其中a=0.1345，q=10-4＜1，所以該級數收斂且

實際上，對于更一般的情形，設一個含有n（0＜n＜+∞）個整數的有限數列：

B={b1，b2，…，bn}，其中bi∈{1，2，…，9}，（i∈1，2，…，n），

則對任意一個循環節不含0的純循環小數m，均可表示為：

顯然m是一個收斂的幾何級數，由例1可知，

同理可證任意一個循環節含0的純循環小數也可化為分數，所以任意的循環小數均可化為分數.

對于問題2，無窮級數S的前n項和Sn=1+2+…+2n-1→∞（n→+∞）發散，故無窮級數S不存在和，所以“S-2S=1”的結論顯然是錯的.

我們再看一個類似的問題：

問題3：研究級數

于是，從第二項起全部抵消，故S=1.

括號內從第二項起全部抵消，故

顯然，上述兩種解法的結果是矛盾的.

對于上述問題中的無窮級數求和問題，若不討論其是否收斂隨便求和，企圖用有限求和的計算法則去處理無限求和的問題，這是不嚴謹的，并且容易出現錯誤的認知.實際上，對無窮級數的收斂問題討論得不深入透徹是引發第二次數學危機的原因之一，且引起了長達百余年的混亂.19世紀以來，由于法國數學家達朗貝爾，德國數學家魏爾斯特拉斯（Weirstrass，1815～1897）和法國數學家柯西（Cauchy，1789～1857）詳細而系統地提出了極限理論，而后來由德國數學家戴德金（Dedekind，1831～1916），康托（Cantor，1845～1918）等人完善了實數理論，從而結束了長達百余年的混亂，所謂第二次數學危機亦得到解決.

三、結束語

作為新世紀的中學數學老師，需打下牢固的數學理論基礎，不斷地積累學習數學知識和解決數學問題的經驗，不能將對數學的認識僅僅停留在經驗水平上，對數學的起源和發展以及發展過程中的矛盾和斗爭需要有一個全面的認識，深化并提高對數學具體方法的了解，把握數學家的創造所賴以產生的時代背景以及數學家的這些創造對數學發展的貢獻，自覺樹立正確的數學觀，否則就不能達到全面貫徹數學課程的目標，更不能正確的傳播數學思想.