高考數學與數學競賽相關問題研究

☉江蘇省吳江中學 苗春蘭

高考試題的命題原則是按照考試大綱來完成的，注重對學生數學知識、思想、能力和方法的考查，很多時候學生可以通過“通性通法”來完成解題.隨著教育改革的發展，高考數學更加注重對學生能力和數學素養的考查，近些年來高考數學試題中的部分問題出現了“難題競賽化”的趨勢，很多數學題都來源于數學競賽試題.作為一線高中數學教師，要正視數學競賽，完全可將它作為基礎數學教育的必要補充，在例題上加以延伸和拓展，從而提高學生的解題視野，以及數學課堂的教學效果.

一、高考數學與數學競賽相關問題概述

隨著教育改革的實施，高考數學對于學生的考查不僅在知識與解題技巧上，更加注重學生數學素養和數學能力的考查.通過對近些年的高考數學試題的分析，我們不難發現，很多題型涉及了數學競賽的相關知識.并且，我國朱華偉研究院提出了“競賽數學正在逐漸向中學數學滲透，促進中學數學課程改革”的意見，數學競賽能夠給高中數學注入新鮮的血液.由此可見，高考數學與競賽數學之間有著密切的聯系.我們將近些年的部分高考數學壓軸題與數學競賽試題加以對比，就會輕易發現這些題目在本質上是一樣的，都是由數學競賽中蘊含的數學思想演化而來.不同的是，高考數學將這一問題劃分成了幾個“臺階”，學生能夠一步一步來完成.數學競賽試題以它獨特的視角和創新性的特征受到了很多出題者的青睞，他們更愿意選擇這類題型來考查學生利用數學知識、技能和思維來解決非常規問題的能力，把高考數學與數學競賽相結合的命題方式將成為未來高考數學的命題新趨勢.

二、高考數學與數學競賽的聯系分析

1.以數學競賽相關定理為背景的高考數學試題

競賽數學中涵蓋了大部分的高考數學考試大綱中的內容，它的形式更加靈活，內容更加豐富，借助這一特點，能夠創造出更加新穎的高考數學試題.在高考數學中，很多試題就是借助數學競賽中的相關定理為背景來設計的.例如，特征方程就是高考數學試題中出現的以數學競賽定理為背景的試題.像an+1=p·an+q·an-1的二階遞推式求通項公式的問題，就可以借助特征方程x2=p·x+q來快速求解.其中，如果方程有兩個不相同的實數根x1，x2，那么就可以構造出兩個等比數列{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，進而求出通項{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，再將an+1、an看成未知數求出an的表達式；如果方程有兩個相同的實數根，則先求出an+1-x1·an，然后再用待定系數法求出an的表達式.

例1已知數列{xn}，其中（n≥3），如果limn→∞xn=2，求x1的值是多少？

學生在解決這一問題的時候，如果按照常規思路將原式進行轉化得出難度較大，借助特征方程的相關知識，能夠順利的完成求解.

在該類型的考題中，還有些問題涉及“伯努利——歐拉裝錯信箋”問題，該類題型的意思如下：著名的瑞士數學家提出了一個有趣的問題：某一人寫了n（n∈N+）封信，并且都寫上了對應的地址，那么此人裝錯所有信封的幾率是多少呢？之后，瑞士的一位數學家歐拉提出了運用數列的方法解決這一問題］，歐拉提出的這一方法，關鍵在于尋找目標數列的遞推公式xn+2=（n-1）（xn+1+xn），難點就在于如何求解這一通項公式.當n≥2時，上式就可以化簡為伯努利——歐拉裝錯信箋的問題常常游走在高考數學和數學競賽題型之間，如果學生在高考前期接觸了這類競賽型，那么他們就能夠運用這一知識點快速地完成解題.

例2有個人給他的6不同的朋友寫了6封不同的信，然后又寫了6個信封，那么此人在投放信件的時候，有幾種方法使得信箋和收件人都不相同？

問題分析：如果早期接觸過“伯努利——歐拉裝錯信箋”問題，就可以直接應用這一結論得出所以，此人有265種方法使得信箋和收件人都不相同.

2.以數學競賽解題技巧為背景的高考數學試題

以數學競賽解題技巧為背景的高考數學試題的解題技巧有很多，下面主要介紹構造法的應用.在高考數學試題的解題中，我們需要通過構造條件與結論之間的“橋梁”來實現解題，期中構造橋梁的方法就是“構造法”.構造法是在數學競賽中較為常用的一種解題技巧，主要包括構造函數、構造方程、構造坐標和構造向量等，需要學生借助自身敏銳的觀察能力和扎實的知識基礎來完成.

構造函數法就是通過對題目的透徹分析，然后構造出對應的函數，并借助函數的相關性質來完成求解.

例3如果不等式的解集區間為［a，b］，并且b-a=1，那么k的值是多少？

問題分析：通過觀察我們不難發現，題目中給出的不等式為無理不等式，利用不等式的相關知識解決起來難度較大，因此我們可以通過構造函數的方式進行求解.令，通過數形結合可以看出，半圓在直線y=k（x+1）下方時，x∈（1，2），此時直線y=k（x+1）經過點

構造方程就是根據已知條件中的數量關系，構造出新的方程和方程組，并借助方程的相關知識完成解題，在構造方程進行解題的過程中，關鍵在于挖掘題目中能夠構造方程的隱含條件.

例4已知x，y均為實數，如果4x2+y2+xy=1，那么2x+y的最大值是多少？

問題分析：面對這一題目，常規的解題思路是借助不等式a2+b2≥2ab的變形去求解，這樣的解題過程較為復雜.題目中隱含著2x+y和2xy之間的數量關系，如果我們通過構造方程的形式來進行求解，那么整個解題過程就會變得更加簡單.將4x2+y2+xy=1變形可得（2x+y）2-3xy=1，令t=2x+y，則，根據根與系數的關系可以得知2x，y分別是方程的兩個根.又因為x，y均為實數，那么2x，y也為實數0，則所以2x+y的最大值是

構造坐標法就是通過建立直角坐標系的方式，將幾何問題轉化為代數問題去求解，同樣，我們也可以根據解題需要，將代數問題轉化為幾何問題去求解.

例5已知在△ABC中，AB=2，那么該三角形的最大面積是多少？

問題分析：常規的解題思路是利用三角形的面積公式去求解，這樣的求解步驟較多，容易出錯.這就要求學生打破思維，創造性地運用坐標法去求解.以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，那么A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），因為，所以，整理可得（x-3）2+y2=8（y≠0）.所以當時，三角形的面積最大是

小結

高考數學試題與數學競賽有著密切的聯系，很多數學競賽部分的知識被靈活地運用到了高考數學中，以此來考查學生的數學能力和思維能力，研究高考數學試題與數學競賽的聯系對于提高數學教學具有重要的意義.