對(duì)一道雙變?cè)M試題的多解探究

☉湖南省永州市第四中學(xué) 劉申奧

在近幾年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會(huì)碰到求解雙變?cè)蚨嘧冊(cè)拇鷶?shù)式的最值或取值范圍問(wèn)題.此類問(wèn)題往往難度較大，思維方式多變，方法有時(shí)也多樣.而當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，從多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.下面結(jié)合一道雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍試題來(lái)加以實(shí)例剖析，結(jié)合多角度切入，達(dá)到殊途同歸的效果.

題目已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2-ab+b2=2，則a2+ab+b2的取值范圍是________.

已知雙變?cè)鷶?shù)式的定值條件，如何通過(guò)這個(gè)已知條件巧妙轉(zhuǎn)化或應(yīng)用來(lái)處理所要求解的雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍問(wèn)題，可以利用不同的思維方法來(lái)處理，巧妙轉(zhuǎn)化，方便解決.

引入?yún)?shù)t=a2+ab+b2，結(jié)合條件a2-ab+b2=2得到ab=，利用根與系數(shù)的關(guān)系將實(shí)數(shù)a，b轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，通過(guò)判別式的確定得到t≤6，進(jìn)而得以確定6，從而得以求解.

解法1：設(shè)，結(jié)合可得

又由a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=2，

則知實(shí)數(shù)a，b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，

引入?yún)?shù)t=a2+ab+b2，結(jié)合條件a2-ab+b2=2得到t（a2-ab+b2）=2（a2+ab+b2），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次方程（t-2）a2-（t+2）ab+（t-2）b2=0，利用判別式來(lái)求解含t的二次不等式，得到，從而得以求解.

解法2：設(shè)t=a2+ab+b2，結(jié)合a2-ab+b2=2可得t（a2-ab+b2）=2（a2+ab+b2），

整理可得（t-2）a2-（t+2）ab+（t-2）b2=0，

由判別式△=（t+2）2b2-4（t-2）2b2≥0，

整理可得△=（t+2）2-4（t-2）2≥0，

結(jié)合條件a2-ab+b2=2，通過(guò)構(gòu)造恒等式把a(bǔ)2+ab+b2轉(zhuǎn)化為a2-ab+b2與（a+b）2及（a-b）2的線性關(guān)系，并利用不等式的性質(zhì)來(lái)分別確定相應(yīng)的最小值與最大值，進(jìn)而得到a2+ab+b2的取值范圍.

解法3：由于a2-ab+b2=2，

又a2+ab+b2=3（a2-ab+b2）-2（a-b）2≤3（a2-ab+b2）=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

結(jié)合條件a2-ab+b2=2，通過(guò)轉(zhuǎn)化，引入?yún)?shù)，結(jié)合分類討論思想，在t≠0時(shí)構(gòu)造齊次式，把a(bǔ)2+ab+b2轉(zhuǎn)化為含t的齊次式，利用對(duì)勾函數(shù)的取值范圍，進(jìn)而綜合得到a2+ab+b2的取值范圍.

解法4：由于a2-ab+b2=2，則

當(dāng)t≠0時(shí)，則有

結(jié)合條件a2-ab+b2=2，通過(guò)轉(zhuǎn)化得到a2+b2=2+ab，利用基本不等式得到a2+b2≥2|ab|，轉(zhuǎn)化為不等式2+ab≥2|ab|，通過(guò)對(duì)不等式兩邊平方來(lái)求解含有ab的二次不等式，并利用已知條件的轉(zhuǎn)化得到a2+ab+b2=2+2ab，進(jìn)而得以確定a2+ab+b2的取值范圍.

解法5：由a2-ab+b2=2可得a2+b2=2+ab.

因?yàn)閍2+b2≥2|ab|，所以2+ab≥2|ab|，

兩邊平方整理可得3a2b2-4ab-4≤0，

由于a2-ab+b2=2，則

即a2+ab+b2的取值范圍是

通過(guò)對(duì)已知關(guān)系式a2-ab+b2=2進(jìn)行配方處理得，進(jìn)而結(jié)合三角換元法進(jìn)行換元，得到代入關(guān)系式a2+ab+b2，利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，并利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值，從而確定a2+ab+b2的取值范圍.

解法6：由于a2-ab+b2=2，配方可得

故a2+ab+b2的取值范圍是

根據(jù)線性關(guān)系b=ka進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合條件a2-ab+b2=2，把對(duì)應(yīng)的雙變?cè)鷶?shù)式t=a2+ab+b2轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)k的分式問(wèn)題，然后將其巧妙地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次方程問(wèn)題，利用方程有解所對(duì)應(yīng)的判別式應(yīng)滿足的不等式來(lái)確定參數(shù)t的取值范圍，進(jìn)而確定a2+ab+b2的取值范圍.

解法7：設(shè)b=ka，代入a2-ab+b2=2，整理可得a2=

整理可得（t-2）k2-（t+2）k+（t-2）=0，

由判別式△=（t+2）2-4（t-2）2≥0，

通過(guò)以上多種方法求解雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍問(wèn)題，使我們感受到，切入點(diǎn)不同，破解策略多種多樣.其實(shí)，妙解相應(yīng)的雙變?cè)鷶?shù)式的最值或取值范圍問(wèn)題，巧妙的思維方法值得學(xué)習(xí)，更值得掌握.在具體求解此類問(wèn)題的過(guò)程中，要學(xué)會(huì)靈活變通，巧妙應(yīng)用.W