注重數學運算，提升核心素養
——以2018年全國高考數學試題為例

☉浙江省杭州市余杭實驗中學 王國軍

2018年是浙江省新高考實施的第二年，也是全國新課標（2017版）發布后的第一年，全國各地數學高考試題既注重基礎又兼顧選拔梯度，充分考查了學生的思維品質與學習潛能，彰顯了對學生數學核心素養的考查要求.文章以“數學運算”素養為切入點，通過高考題談談如何在教學中提升學生的核心素養.

一、問題的提出

數學運算是數學學科的六大核心素養之一，是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.［1］

數學運算是學生必備的一項基本技能，數學運算問題是貫穿整個高中數學學習的一條主要鏈條，其不僅是按照公式、法則和程序進行的簡單操作過程，更是復雜煩瑣的思維體操過程，借此鍛煉學生的耐心和意志品質，提升數學素養.本文結合教學實踐，通過一些具體的案例來剖析學生數學運算素養的培養與提升.

二、問題的解決

數學運算是解決相關數學問題的基本手段，能夠進一步發展學生的數學運算能力，借助運算方法來解決實際問題，通過運算來促進學生的數學思維的發展，進而讓學生形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍與嚴謹求實的科學精神.

1.掌握基本運算法則，作好基礎鋪墊

例1（2018·江蘇·16）已知α，β為銳角

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

分析：（1）利用同角三角函數基本關系以及二倍角的余弦公式進行運算求解；（2）利用同角三角函數的基本關系、二倍角的正切公式以及兩角差的正切公式進行運算求解.

解：（1）因為

因為sin2α+cos2α=1，所以

（2）因為α，β為銳角，所以α+β∈（0，π）.

因此tan（α+β）=-2.

點評：涉及此類三角函數的求值與運算問題，往往綜合同角三角函數的基本關系、誘導公式、三角恒等變換等相應的三角公式，并借助三角函數的求值等來進行數學運算與處理.在處理集三角函數的“繁、長、巧”于一體的數學運算過程中，要意識到解題環節產生的運算，并通過分析進行合理調控，深入理解算理，提高運算的靈活性，提升速度與效益.

2.強化運算技巧意識，分解運算難度

例2（2018·全國卷Ⅱ文·21）已知函數f（x）=

（1）若a=3，求f（x）的單調區間；

（2）證明：f（x）只有一個零點.

分析：（1）先對函數f（x）求導，結合f′（x）=0，討論導函數的正負取值情況，進而確定函數f（x）的單調區間；（2）等價轉化，f（x）只有一個零點等價于3a只有一個零點，然后通過對函數g（x）求導，并利用函數g（x）的單調性來轉化與確定即可.

解：（1）當a=3時

令f（′x）=0解得或

故f（x）在上單調遞增，在上單調遞減.

當且僅當x=0時g′（x）=0，

所以g（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，

故g（x）至多有一個零點.

又g（3a-1）＜0，g（3a+1）＞0，故g（x）只有一個零點，即f（x）只有一個零點.

點評：在導數的運算與證明過程中，通過轉化f（x）只有一個零點等價于只有一個零點，并利用函數g（x）的單調性來轉化與確定即可.通過強化導數中的運算技巧，往往可以有效降低運算難度，提升解題效益.

3.善于優選運算方法，展開豐富聯想

例3（2018·全國卷Ⅰ理·19）設橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

分析：（1）根據已知條件確定直線l的方程，進而確定點A的坐標，既可求解直線AM的方程.（2）通過對直線l分類討論：直線l與x軸重合；直線l與x軸垂直；直線與x軸不重合也不垂直.然后設出直線l的方程，通過對直線MA，MB斜率之和的求解，結合直線與橢圓方程的聯立，結合函數與方程思想，通過kMA+kMB=0，進而得到MA，MB的傾斜角互補，得以證明∠OMA=∠OMB.

解：（1）由已知得F（1，0），直線l的方程為x=1，

由已知可得，點A的坐標為

所以AM的方程為

（2）證明：當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.

當l與x軸不垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為x=my+1，則，直線MA，MB的斜率之和為

由x1=my1+1，x2=my2+1，

將x=my+1代入

得（m2+2）y2+2my-1=0，

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，所以

綜上，∠OMA=∠OMB.

點評：在解決與證明∠OMA=∠OMB時，可以利用直線的斜率和為零加以轉化，通過選擇適當的直線方程，可以優化運算方法，從而達到快速簡單求解的目的.

4.充分挖掘題目條件，整合知識交匯

例4（2018·浙江·17）已知點P（0，1），橢圓（m>1）上兩點A，B滿足則當m=______時，點B橫坐標的絕對值最大.

分析：以直線AB的斜率k為自變量，對其斜率是否存在加以分類討論，當斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯立，得到對應的x1與x2的關系式，并借助得到x1=-2x2，通過消元得到x2的關系式，利用基本不等式來確定最值，并求得取最值時m對應的值.

解析：設

若直線AB的斜率不存在，則有x2=0，此時有解得m=9.

若直線AB的斜率存在，設其斜率為k（k>0），則直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，整理可得（4k2+1）x2+8kx+4-4m=0，

綜上所述，可知當m=5時，點B橫坐標的絕對值最大為2.

點評：涉及此類數學運算問題，往往要充分挖掘題目條件，借助平面向量的轉化，根據根與系數的關系，并結合基本不等式來處理.借助圓錐曲線中的代數運算，考查了數學運算求解能力，體現了數學運算的核心素養.

5.深入理解運算內涵，進行邏輯推理

例5（2018·天津·7）已知雙曲線0）的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1+d2=6，則雙曲線的方程為（ ）.

分析：根據對稱性可知，F為AB的中點，又結合梯形的中位線定理得到右焦點F到漸近線的距離，利用點到直線的距離公式求出焦點到漸近線的距離，進而得到參數b的值，并結合離心率來進一步確定參數a的值，從而求得雙曲線的方程.

解析：因為過右焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，根據圖形的對稱性可知，F為AB的中點，

根據梯形的中位線定理可知，右焦點F到漸近線的距離

而焦點F到漸近線的距離

即b=3.

點評：對稱點是解析幾何問題中的和諧元素，我們可以通過對稱點來確定相關點的坐標、建立關系式、構建幾何性質與幾何量的關系等.涉及此類運算的問題，往往通過解析幾何中的對稱思維進行邏輯推理，深入運算內涵，通過對稱性可知F為AB的中點，為進一步利用梯形的中位線定理提供條件，巧妙地達到優化過程、事半功倍的效果.

三、感悟與反思

高中數學概念多且抽象性強，而且公式、定理也比較多，需要學生熟練掌握公式的變形和逆用，因此教學中需要通過具體典例不斷鞏固，加強辨析，強化記憶，才能熟能生巧.其實，數學運算素養能力的提升與培養是一個循序漸進并且螺旋式上升的過程.學生通過對不同的數學運算方式進行比較與感悟，加深對數學概念的理解與運算規律的掌握，同時優化了數學的思維品質.數學運算素養與數學邏輯思維能力的培養與提升是一脈相承、休戚相關.