用高等數(shù)學知識解初等數(shù)學題

熊紅英

摘 要：通過分析目前高師數(shù)學教育中存在的一些問題，并用例子說明高等數(shù)學在初等數(shù)學各個領域中的體現(xiàn)，闡述了加強高等數(shù)學的學習對提高高校師生數(shù)學解題能力起著重要作用，并提出了學習高等數(shù)學的一些教學原則。

關鍵詞：高等數(shù)學；初等數(shù)學；解題能力

高等數(shù)學是高等師范院校的主要基礎課之一，由于該學科本身具有高度抽象的特點，往往使學生感到望而生畏，學生總有這樣一個看法，高等數(shù)學與初等數(shù)學所研究的內(nèi)容相差甚遠，學習高等數(shù)學對將來教初等數(shù)學作用不大，總感到用高等數(shù)學直接來解決或處理初等數(shù)學的問題太少。我們知道，初等數(shù)學與高等數(shù)學之間無論在觀點還是在方法上都有著很大的區(qū)別。高等數(shù)學是初等數(shù)學的繼續(xù)和提高，此外，初等數(shù)學里的很多遺留問題必須在高等數(shù)學中才能得到澄清。

一、注重高等數(shù)學對初等數(shù)學解題的指導作用，貫徹高、初等數(shù)學相結合的原則

（一）高等數(shù)學在中學數(shù)學理論基礎方面的體現(xiàn)

中學數(shù)學教材中的數(shù)學知識，由于充分考慮到數(shù)學的社會性原則和學生的可接受性原則，往往是以教育形態(tài)（不是學術形態(tài)）的呈現(xiàn)，因此中學數(shù)學教材中的一些知識內(nèi)容不可能嚴謹透徹，例如高中代數(shù)中的指數(shù)函數(shù)y=[ax]（a>0且a≠1），由于中學階段指數(shù)概念僅推廣到有理數(shù)，而指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集.然而要在中學階段講清這個問題是不大容易的，需要涉及極限理論.事實上，指數(shù)函數(shù)是群（R，+）到群（[R+]，）的同構映射，且保持序結構。同時，一些重要的數(shù)學基本定理，根據(jù)其在中學數(shù)學中的地位與作用，大都以“公理”的形式直接加以肯定，并予以直觀的描述，嚴格的證明需通過高等數(shù)學的知識加以證明和完善.可以說，運用高等數(shù)學的知識能將中學數(shù)學中不能或很難徹底解決的基本理論加以嚴格地證明；反過來，中學數(shù)學中的問題也為高等數(shù)學的理論提供可靠的背景和模型。因此，學習和運用高等數(shù)學知識可以加深理解中學數(shù)學教學內(nèi)容的安排意圖，有利于提高師生數(shù)學解題能力。

（二）初等數(shù)學的特殊問題用高等數(shù)學一般化來解決

因此，運用高等數(shù)學的觀點，對中學數(shù)學問題中的疑難問題可以進行直觀的描述，既可體現(xiàn)教學的量力性和直觀性，又不違背教材的科學性。

（三）高等數(shù)學往往是初等數(shù)學問題的推廣

大量的初等數(shù)學問題，其本質(zhì)都是高等數(shù)學中相關知識的特殊情形。因此，在教學中運用高等數(shù)學的觀點和方法，指導初等數(shù)學問題的解決，有助于開拓高師生的思維品質(zhì)，不囿于常規(guī)，有利于高師生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，也有利于高師生解題能力的培養(yǎng)。

以上幾個問題說明，運用高等數(shù)學的知識、觀點和方法來處理和解決初等數(shù)學教材中的疑難問題及初等數(shù)學問題，有著重要的教學價值。

二、加強高初結合的教學原則

如何在高師數(shù)學教育中體現(xiàn)師范性，加強高初結合，提高高師學生的數(shù)學解題能力，是我們關注的重點之一。高師生必須掌握必要的高等數(shù)學知識，尤其要能夠運用現(xiàn)代數(shù)學的觀點指導初等數(shù)學教學，做到高屋建瓴。為此，筆者認為，在高等數(shù)學教學中必須做到以下幾條原則，才能真正加強高初結合，提高師生的數(shù)學解題能力。

（一）注重滲透數(shù)學思想方法，貫徹理論與實踐相結合的原則

思想方法是對數(shù)學知識和方法的本質(zhì)認識，是數(shù)學活動過程中的思想和觀點。在高等數(shù)學，自始至終貫穿著動態(tài)或變量的思想、極限思想（無窮小思想）等宏觀科學思想方法，也體現(xiàn)出化歸思想、模型思想、概率思想等一系列的微觀、具體的數(shù)學思想方法以及變量等觀點，它是聯(lián)系高等數(shù)學和初等數(shù)學的紐帶。我們在教學中，既要重視中學理論知識的講解，同時，也要注重將這些思想方法滲透到初等數(shù)學解題中。例如，我們可以有意識地將初等數(shù)學中經(jīng)典的數(shù)學知識如因式分解、等式與不等式證明和函數(shù)作圖作為問題

類型的背景，用高等數(shù)學知識予以解決。

（二）貫徹高等數(shù)學的嚴謹性和教學的量力性相結合原則

由于高等數(shù)學知識體系是建立在嚴格的邏輯體系和公理化體系之中，形成了嚴密的數(shù)學理論，而初等數(shù)學的知識體系，是邏輯體系和心理體系的混合體，由此形成了高等數(shù)學和初等數(shù)學差異，因此，不能在課堂教學中應過分突出師范性而降低了學科的科學性和系統(tǒng)性，降低學科本身的培養(yǎng)目標，同時，也不能為了追求高等數(shù)學學科的嚴謹性而不顧高師生的認知結構.也就是說，要根據(jù)高師生的認知發(fā)展水平和思維特點安排高等數(shù)學的教學內(nèi)容。使高初結合的密切程度與高師生的思維發(fā)展相適應，由淺入深、由易到難，循序漸進。當然，要在量力性的前提下，盡可能地使高等數(shù)學保持其嚴謹性。

（三）解題技巧與程序訓練相結合的原則

解決問題是數(shù)學課程的靈魂，其特點在于技巧性和程式化.數(shù)學教學面臨的數(shù)量變化課題，必須用靈巧的思維和繁復的計算程序去解決，一方面是靈活機動的創(chuàng)造性思維，一方面是呆板固定的計算公式，兩者缺一不可.因此，我們在高等數(shù)學教學中，要鼓勵高師生經(jīng)常運用高等數(shù)學知識解決初等數(shù)學問題，使之形成一種程式，在解決初等數(shù)學問題時做到水到渠成.因此，在高等數(shù)學教學中應當盡力做到解題技巧與程序訓練相結合的原則。

三、結束語

總之，只有加強高初結合，才能真正提高高師生的數(shù)學解題能力，從而提高師生的教師素質(zhì)。同時，扎實的初等數(shù)學基礎對學好高等數(shù)學也是非常重要的。通過這樣的應用，既可以開拓解題思路，又可以培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題以及綜合運用知識的能力。

參考文獻

[1]王冰潔.高觀點下初等數(shù)學問題的解決[J].白城師范學院學報，2002（1）：52-54.

[2]任峰.應用高等數(shù)學觀點求解初等數(shù)學問題實例[J].高等繼續(xù)教育學報，2011（5）：87-89.