高中數(shù)學(xué)立體幾何中幾何體的夾角求法芻議

謝天翊

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科作為高中數(shù)學(xué)中難度較大的學(xué)科，面對數(shù)學(xué)問題的解答，掌握一定的解題方法十分重要。學(xué)生只有具備了扎實的理論知識，靈活的解題方法，具備清晰的解題邏輯，面對困難的數(shù)學(xué)問題才能得到解答?；诖?，本文針對立體幾何中十分常見的夾角問題進行了研究分析，從線面夾角、二面角以及線線夾角三個方面進行了分析，以期能夠更加有效的處理好夾角問題，能夠讓學(xué)生不再受到立體幾何難題的困擾。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；夾角問題；解題方法

引言：在高中階段，數(shù)學(xué)學(xué)科一直是相對困難的一個學(xué)科，無論是學(xué)生的學(xué)習(xí)還是教師的教學(xué)，都需要花費大量的精力對數(shù)學(xué)進行研究。在高中數(shù)學(xué)中立體幾何是十分重要的問題，在高考題目中占據(jù)著很大的比例，對于學(xué)生而言，解答立體幾何這類問題也十分困難。教師面對這樣的困境，必須要加強對學(xué)生解題方法的教學(xué)，幫助學(xué)生能夠掌握更有效的解題方法，讓立體幾何的相關(guān)問題能夠迎刃而解。

一、線和面形成的夾角

針對直線和面形成的夾角，假設(shè)在平面A上，存在一個向量n，那么PP0與A平面形成的夾角也就是θ，這樣能夠得到 的公式為 。

例如：在三棱柱中，存在CA=CB、AB=AA1且 =60°。求證明AB和AC是互相垂直的；假設(shè)平面ABC是和平面AA1B1B是相互垂直的，且AB和CB的長度是相等的，在這個條件下，求出直線A1C與平面BB1C1C所形成夾角的正弦值。

對于這道題目，我們首先做出直線AB的重點為O，然后將OC、A1B、A1O兩點相連接。由于AB和AA1是相等的，那么 =60°，可以推論出三角形BAA1是正三角形，也就是說A1O適合AB相互垂直的。由于CA和CB的值是相等的，所以可以得出CO是和AB相垂直的。由于CO A1O=O，那么就可以得到AB和COA1是相互垂直的，也就是說AB和A1C是相互垂直的。

根據(jù)已知條件，我們能夠了解到CO適合AB互相垂直的，OA1適合AB互相垂直的，平面ABC是和平面ABB1A1互相垂直的，面ABC 面ABB1A1=AB。因此OC也就垂直于平面ABB1A1，OC也就垂直于OA1。因此，將O作為坐標的原點，將OA的方向定義為正方向，OA的長度也就是單位長度，建立直角坐標系之后，能夠獲得各個點的坐標，進行求解。最終能夠獲得正弦值的值為 。

二、二面角

在二面角中，兩個平面上個存在一個法向量，假設(shè)二面角的大小是大于零且小于π的，那么 。平面上一個法向量代表著平面的一點，另一個平面上的法向量代表著的一點指向角內(nèi)部。否則二面角中發(fā)出法向量的時候，θ=π-（n1，n2）[1]。

例如：在一個三棱柱中，AA1C1C是正方形，平面ABC是和平面AA1C1C互相垂直的，AB的值為3，BC的值為5。AA1適合平面ABC互相垂直的，求二面角A1-BC1-B1余弦值。同時需要證明BC1上是存在一點D能夠讓AD和A1B互相垂直的，將BD和BC1的比值求出來。

由于在四邊形AA1C1C是正方形，且AA1是和AC相互垂直的，由于平面ABC是和平面AA1C1C是互相垂直的，直線AA1也是垂直于AC，因此可以得到AA1適合AB互相垂直的。根據(jù)題目的已知條件，將A作為原點進行坐標系的建立，這樣能夠獲得各個點的坐標，對余弦值進行計算。

三、線和線形成的夾角

假設(shè)存在異面直線ab，而在ab上存在兩個向量，異面直線形成的夾角也就是 [2]。

例如：在一個直三棱柱中，AB和AC是互相垂直的，AB和AC的值都是2，AA1的值是4，BC的中點是D。根據(jù)已知條件，對異面直線A1B和C1D所形成的夾角余弦值進行計算，還需要求出兩個平面ADC1、ABA1所形成的夾角的正弦值。

在這道題目中，我們能夠了解到這道題目所考察的是異面直線、向量以及二面角的相關(guān)問題，在這道題目中需要使用向量解題方法進行題目的解答。以A作為原點建立直角坐標系，在直角坐標系中能夠得到各個點的坐標。然后能夠獲得直線的向量，這樣也就能夠?qū)Χ娼沁M行解答。根據(jù)直角坐標系能夠知道，A點的坐標為（0，0，0），B的坐標為（2，0，0），C點的坐標為（0，2，0），D點的坐標為（1，1，0），C1點的坐標為（0.2.4）。因此向量 也就是（2，0，-4），向量 也就是（1，-1，-4）。這樣就能夠計算出夾角余弦值，也就是 。

在第二個問題中，由于平面ABA1上的法向量是 ，假設(shè)在平面ADC1上存在一個法向量，由于該法向量和AD以及AC1是相互垂直的，能夠得出方程式，得到答案。在獲得平面ADC1法向量的值的基礎(chǔ)上，能夠?qū)Χ娼堑恼抑颠M行解答。假設(shè)平面ADC1上的法向量n是（x，y，z），那么能夠得到x+y=0，2y+4z=0，z的值是1，也就得到了x的值是2，y的值是-2.這樣向量n也就是（2，-2，1）。那么二面角的正弦值也就能夠得出 。

結(jié)論：綜上所述，本文對高中數(shù)學(xué)中難度較大的立體幾何夾角問題進行了研究分析，通過例題講解的方式從線面夾角、二面角以及線線夾角三個方面進行了系統(tǒng)的分析。面對立體幾何的夾角問題，首先需要對題目進行徹底的分析，對題目中提到的以及隱藏的已知條件全部找出來，對已知條件進行分析。然后根據(jù)已知條件確定自己的解題思路，通過建立直角坐標系、做輔助線、做輔助點等多種方式，將問題轉(zhuǎn)化成計算問題，對夾角問題進行解答。

參考文獻：

[1]平克.讓立體幾何變得不再“立體”——淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“肢解”立體幾何[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（30）：42-43.

[2]韓蕊.立體幾何比較研究——人教版與北師大版高中數(shù)學(xué)教材“立體幾何”部分的比較[J].考試周刊，2018（81）：81.