“概率與統計”在高考數學的定位與考查探究

張靜

摘要：隨著社會的發展、“概率與統計”能力的培養越來越受到教育者的重視。本文研究了2019年高考數學對“概率與統計”的整體考查情況，發現相比前幾年對“概率與統計”的考察內容差異較大，具體表現為：考查內容綜合強度差異大、考查頻次差異大、考查內容側重在綜合計算方面等。研究啟示教師在日常教學、評價中重視“概率與統計”內容的教學，加強對“統計”知識的考查，重視現實情境的創設。????關鍵詞：2019年高考 數學概率與統計 情境與問題 統計與概率命題

2017年版普通高中數學課程標準將數據分析素養作為高中數學六大核心素養之一，同時在文理分科的前提下，“概率與統計”部分內容的重量稍有增加。而在近兩年的考查中，得分率情況越來越低。因此，對“概率與統計”教學和評價的研究需要更多研究者的關注與參與。本文以2019年高考一卷數學的第21題為例，研究高考中“概率與統計”試題的整體情況、典型試題以及對教學的啟示。

一、典型試題分析2019年高考理科數學全國I卷把概率?統計問題作為壓軸題，這體現了評價考試對“概率與統計”的重視正在加強。題目如下：

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物實驗.實驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比實驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪實驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止實驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪實驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪實驗中甲藥的得分記為.

（1）求的分布列;

（2）若甲藥、乙藥在實驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，.假設，.

（i）證明：為等比數列;

（ii）求，并根據的值解釋這種實驗方案的合理性.

首先這個實驗的思路跟乒乓球、羽毛球的記分思路相似：以乒乓球為例，如果甲、乙二人一局乒乓球甲至少領先乙2分才能獲勝，也就是說甲11：10、12：11、13：12……領先不行，得11：9、12：10、13：11、14：12……領先才算獲勝。這道題題干相當于把甲至少領先乙2分換成了甲至少領先乙4分。將整個看似比較復雜的問題轉化為我們常見的情境模型求解。????第一問信息比較清晰，下面分析第二問：????相比于乒乓球比賽，第二問又做了改動，具體情況如下：1.乒乓球比賽是從0：0開始記分，甲贏一個球則甲得1分，乙不扣分，乙贏一個球則乙得1分，甲不扣分;現在變成了從4：4開始記分，甲贏一個球則甲得1分，乙扣1分，乙贏一個球則乙得1分，甲扣1分;2.乒乓球比賽是甲至少領先乙2分時甲獲勝，乙至少領先甲2分時乙獲勝;現在變成了甲8：0領先乙時甲獲勝，乙8：0領先甲時乙獲勝。????當然這里還有一個問題，就是本題涉及的情況存在一個球打完了，雙方都不得分的情況（甲、乙藥分別治愈了一只小白鼠，或甲、乙藥分別沒有治愈一只小白鼠）;根據題目的規定，打一個球時，甲贏這個球的概率為c，乙贏這個球的概率為a，這個球雙方都不得分的概率為b;由于這個球雙方都不得分的情況無論發生多少次都對比分沒有影響，因此可以視這種情況為無效實驗。那么忽略所有無效實驗，設在有效實驗中，研究問題。第二問直接給了個P（i-1）、Pi、P（i+1）的關系式，第一小問讓我們求P（i+1）-Pi和Pi-P（i-1）的關系。根據題目規定，在甲得分為i-1、i、i+1的情況下，甲獲勝的概率分別為P（i-1）、Pi、P（i+1）;那么，如果甲的得分是i，那么甲獲勝的情況分成兩類：????1.下一個球之后甲的得分變成i+1，其概率為ρ，此后甲獲勝的概率為P（i+1）;????2.下一個球之后甲的得分變成i-1，其概率為（1-ρ），此后甲獲勝的概率為P（i-1）。????那么：????Pi=ρP（i+1）+（1-ρ）P（i-1）????Pi=cP（i+1）/（a+c）+aP（i-1）/（a+c）???（a+c）Pi=cP（i+1）+aP（i-1）???（1-b）Pi=cP（i+1）+aP（i-1）???Pi=aP（i-1）+bPi+cP（i+1）???即第二問給出的式子。???進一步看：???Pi=ρP（i+1）+（1-ρ）P（i-1）???Pi-ρPi=ρP（i+1）-ρPi+（1-ρ）P（i-1）???（1-ρ）Pi-（1-ρ）P（i-1）=ρP（i+1）-ρPi???（1-ρ）[Pi-P（i-1）]=ρ[P（i+1）-Pi]???[P（i+1）-Pi]/[Pi-P（i-1）]=（1-ρ）/ρ???P（i+1）-Pi為等比數列，公比是（1-ρ）/ρ，就這道題而言公比是4，第二問第一小問得證。再看第二問的第二小問，這道題告訴我們，甲藥管用的概率是0.5，乙藥管用的概率是0.8，那么乙藥比甲藥管用;而雙方從4：4的比分開始比賽是公平的，而在公平的比賽中，不如乙有效的甲獲勝的概率只有1/257，因此這種賽制合理。即便規則偏向于甲，比如甲帶著5：3的比分開始比賽，甲獲勝的概率（即P5）也只有341/21845（即4的5次冪-1為分子，4的8次冪-1為分母），約0.0156;即使甲帶著7：1的比分開始比賽，甲獲勝的概率（即P7）也只有5461/21845（即4的5次冪-1為分子，4的8次冪-1為分母），約0.2500，規則優勢也很難救甲。換一個角度想，如果上述告訴我們甲、乙藥效相同，則a=c，1-ρ=ρ=0.5，（1-ρ）/ρ=1，則[P（i+1）-Pi]/[Pi-P（i-1）]=1，P（i+1）-Pi=Pi-P（i-1），Pi為等差數列，則P1=0.125，P3=0.375，P4=0.5，P5=0.625，P7=0.875，那么規則偏向于誰誰獲勝的概率就大，偏向程度越高概率離50%越遠，規則不偏不倚則雙方獲勝的概率相當，這就是這種規則的合理性。

本題的標準答案如下：

解：（1）一輪實驗中甲藥的得分有三種情況：、、.

得分時是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則;

得分時是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則;

得分時是都治愈或都未治愈，則.

則的分布列為：

（2）（i）因為，，

則，，.

可得，則，

則，則，

所以為等比數列.

（ii）的首項為，那么可得：

………………

，

以上7個式子相加，得到，

則，則，

再把后面三個式子相加，得，

則.

表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為4”，因為，，，則實驗結果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為4”這種情況的概率是非常小的，而的確非常小，說明這種實驗方案是合理的.

二、對概率統計教學、評價的啟示

1.重視"概率與統計"內容的教學。當今社會發展迅速，我們已經處于大數據時代，人們已經認識到，獲取有價值的信息并進行定量分析的意識和能力、基于數據表達現實問題的意識、依托數據探索事物本質和規律等本領在這一背景下十分重要，并亟須加強。

?2.加強對“統計”知識的考查。分析近幾年的高考試題，不管是一卷二卷還是三卷，對統計類相關內容的考察都占了一定的比重，甚至在模擬題中同樣重要。教師在平時講的時候，不要忽視對該部分內容的重視，注重各知識點的融合，將統計類知識掌握清楚。

3.重視現實情境的創設。由經濟合作與發展組織（OECD）牽頭實施的“國際學生評估項目”（PISA）是這樣界定數學素養的：“在各種各樣情境中能夠自覺產生和使用數學的意識，使用數學概念、程序、事實和工具來描述、解釋說理甚至預測，看到數學在社會中所起的作用，能夠積極參與社會事務、運用數學理智地進行判斷和決策的能力”?？梢姡琍ISA認為數學素養一定要在情境中體現出來。

學生數學素養的提升離不開情境，學生數學素養的展示往往也在情境中體現。從上邊表格中可以看出，在教學中，不能脫離問題的情境，要重視情境的創設，讓學生在情境中理解所學的概率與統計知識，并能靈活運用。同時，要注意情境的設計與問題緊密聯系，把抽象的問題轉化為我們常見的情景問題來理解分析。

參考文獻：

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[2]李俊.中小學概率統計教學研究[M].上海：華東師?范大學出版社，2018（9）.