“幾何直觀”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳光明

利用幾何直觀可以把抽象的數(shù)學(xué)概念和原理進(jìn)行直觀描述，可以幫助學(xué)生理解題意、找到解決問題的思路、預(yù)測問題的結(jié)果，其在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。

一、借助幾何直觀，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)

1. 理解概念。學(xué)生從學(xué)習(xí)簡單的整數(shù)開始，到學(xué)習(xí)十進(jìn)制整數(shù)，還有分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)……在學(xué)習(xí)數(shù)的任何一個(gè)階段都離不開幾何直觀的支持。利用幾何直觀，可以將抽象的“數(shù)”具體化、直觀化，以幫助學(xué)生建立數(shù)感。

如在教學(xué)“平均數(shù)”時(shí)，為了幫助學(xué)生理解抽象的“平均數(shù)”意義，筆者設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

（1）用條形統(tǒng)計(jì)圖展示4、9、7、12這一組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生用一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)來作為這一組數(shù)據(jù)的代表。通過課件演示，用“移多補(bǔ)少”的方法使所有“條形”都變得“一樣高”（見圖1），使學(xué)生直觀地理解平均數(shù)的意義，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出計(jì)算平均數(shù)的方法。

（2）在原有數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)“3”，并向?qū)W生提問：平均數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化，為什么會(huì)這樣變化？通過課件演示，將前面的四個(gè)“條形”各移動(dòng)一格補(bǔ)給“3”，又一次使所有“條形”變得一樣高，得到了新的平均數(shù)“7”（見圖2）。

2. 理解原理。數(shù)學(xué)中的許多定理都是從概念出發(fā)，通過演繹推理的方式逐步推導(dǎo)出來的。小學(xué)生的邏輯思維還沒達(dá)到應(yīng)有的高度，教師不可能用嚴(yán)密的“公理化”方式來教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。為了能更好地理解數(shù)學(xué)中的各種原理，讓數(shù)學(xué)散發(fā)其應(yīng)有的吸引力，學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)原理的探索、發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)的過程中，幾何直觀是必要的輔助手段。

如在計(jì)算“圓環(huán)的面積”時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)將兩個(gè)數(shù)的平方差算成兩個(gè)數(shù)差的平方。為了演示二者的區(qū)別，筆者給學(xué)生提供了左邊的圖形（圖3），讓學(xué)生觀察后思考：哪部分的面積是92-72，哪部分的面積是（9-7）2，它們的大小一樣嗎？借助圖形，學(xué)生就能直觀地區(qū)別“平方差”與“差的平方”的不同。

3. 理解模型。數(shù)學(xué)模型的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)的方法研究和解決問題，最終得到結(jié)果，是數(shù)學(xué)建模的一般步驟。而幾何直觀模型通常是現(xiàn)實(shí)問題與高度抽象的數(shù)學(xué)模型之間的橋梁。

為了能更好地幫助學(xué)生建立“植樹問題”的三種不同的模型，在教學(xué)時(shí)筆者借助如下幾何直觀模型，用“一一對(duì)應(yīng)”的思想來引導(dǎo)學(xué)生提煉出植樹問題的三種“數(shù)學(xué)模型”（見表1）。

二、借助幾何直觀，幫助學(xué)生解決問題

1. 理解題意。人教版五上中的“分段計(jì)費(fèi)”問題常常是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，主要是因?yàn)閷W(xué)生不能正確理解題意。在教學(xué)時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生將問題中的數(shù)量關(guān)系用“線段圖”的方式“畫”出來（見表2），通過這種方式幫助學(xué)生理解題意，收到良好的效果。

2. 啟發(fā)思路。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會(huì)遇到一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的問題。為了厘清問題的數(shù)量關(guān)系，弄清有用信息與隱含信息，啟發(fā)解題思路，通常可以利用直觀圖來描述和分析問題中的數(shù)量關(guān)系，尋找到解決問題的路徑。

如這樣一道題目：將一個(gè)表面積是110 cm2的長方體分割成大小相等的5個(gè)小正方體后，表面積之和增加了多少平方厘米？筆者所在學(xué)校的某班回答這道題的正確率遠(yuǎn)高于同年段的其他班級(jí)。后來年級(jí)的幾位數(shù)學(xué)教師翻看了該班同學(xué)的試卷，原來這個(gè)班上大多數(shù)同學(xué)都在本題的旁邊自覺地畫上了左邊的“草圖”（圖4）。該長方體未分割前有22個(gè)面，每個(gè)面積是5 cm2，增加的8個(gè)面剛好為40 cm2。由此可見，“畫圖”對(duì)于幫助解決較為抽象的數(shù)學(xué)問題起到化抽象為具體的作用。

3.“看”出結(jié)果。學(xué)生在學(xué)完圓的面積后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的問題：用一張A4紙（長29.7 cm、寬21 cm）最多可以剪出多少個(gè)直徑是5 cm的圓片？

受到思維定勢的影響，學(xué)生想當(dāng)然地用長方形的面積除以一個(gè)圓片的面積算出可以剪出31個(gè)圓。看到學(xué)生的答案后，筆者并沒有馬上予以否認(rèn)，而是給他們發(fā)一張A4紙，讓他們將31個(gè)圓畫出來。在學(xué)生畫圓的過程中就陸續(xù)有學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方形紙上有很多空隙沒辦法被利用。借助“畫圓”讓學(xué)生明白剪圓時(shí)必須先剪邊長與直徑相等的正方形，能剪多少個(gè)這種正方形，就能剪多少個(gè)圓。也讓學(xué)生明白考慮問題要結(jié)合實(shí)際情況，同時(shí)也讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，有些問題的答案居然能夠通過畫圖的方法被輕易地“看”出來。

三、借助幾何直觀，促進(jìn)學(xué)生思維嚴(yán)密

幾何直觀作為數(shù)學(xué)思考的有力工具，為數(shù)學(xué)的創(chuàng)造和發(fā)展帶來無盡的靈感。但建立在直觀或直覺上得到的結(jié)論不能代替嚴(yán)密的推理。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，應(yīng)該讓學(xué)生明白——借助幾何直觀“看”到的結(jié)果必須要經(jīng)過推理論證后才更加可信，以此逐步提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

如在計(jì)算右邊組合圖形（圖5）的面積時(shí)，有學(xué)生將組合圖形分割成三個(gè)三角形，分別計(jì)算這三個(gè)三角形的面積再相加，得出的結(jié)果是122 cm2。但學(xué)生通過運(yùn)用“幾何畫板”計(jì)算出∠ABC的度數(shù)后發(fā)現(xiàn)：原來兩條折線AB和BC所成的角不是平角，圖中的虛線ABC實(shí)際上不是一條直線，所以用這種方式計(jì)算組合圖形的面積時(shí)，多算了面積。

通過這個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生明白有時(shí)通過直觀“看”出來的結(jié)論也會(huì)有錯(cuò)，必須經(jīng)過推理論證才能使結(jié)論更有保證，使思維逐步向科學(xué)性、嚴(yán)密性發(fā)展。

（作者單位：福建省福清市高山中心小學(xué)）