在明辨中深度理解概念

鄭建

[摘要]教師應(yīng)該圍繞概念內(nèi)涵的核心來組織和開展教學(xué)活動。以“體積與容積”一課的教學(xué)思考與實(shí)踐為例，談在具體教學(xué)中，如何通過深刻分析概念本質(zhì)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，來設(shè)計(jì)有利于學(xué)生慎思、明辨的學(xué)習(xí)活動，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，真正把知識內(nèi)化為能力。

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué);深度學(xué)習(xí);體積與容積;明辨

[中圖分類號]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0033-03

如何圍繞概念內(nèi)涵的核心展開教學(xué)？教師既要深刻分析概念本質(zhì)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，也要注重設(shè)計(jì)有利于學(xué)生慎思、明辨的學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、理性判斷，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，真正把知識內(nèi)化為能力。下面以“體積與容積”一課的思考與實(shí)踐為例，談?wù)勅绾伟盐崭拍畋举|(zhì)，創(chuàng)設(shè)明辨活動，促進(jìn)學(xué)生深度理解體積與容積的概念。

一、關(guān)注生活經(jīng)驗(yàn)，淡化描述形式

北師大版教材中是這樣描述體積與容積這兩個(gè)概念的：物體所占空間的大小，是物體的體積;容器所能容納物體的體積，是容器的容積。兩個(gè)概念都很抽象，但五年級的學(xué)生對“空間”“體積”早有直覺上的認(rèn)識，生活中經(jīng)常會做出“這個(gè)蘋果小、那塊蛋糕大”“飲水機(jī)占的空間比冰箱小”等描述。因此，教師不必糾結(jié)于概念的文字表述，比如解釋什么是“空間”，對學(xué)生理解“體積”幫助不大。在體積概念的引入上，筆者是通過讓學(xué)生觀察“土豆實(shí)驗(yàn)”，直接指向土豆是占空間、有體積的。

實(shí)驗(yàn)演示：如圖1所示，把土豆放人裝有水的燒杯中。

師：為什么土豆放下去后水面會升高？

生1：因?yàn)橥炼拐剂怂目臻g。

師：我們教室里的哪些物體也占了空間呢？

生2：課桌、椅子，甚至人也占空間。

師：對！人也占空間。那么老師站在這里和向前走幾步后，所占的空間一樣大嗎？側(cè)著站呢？

生2：老師沒有變，所以占的空間一樣大。

師：比較我和生2，誰占的空間大？你是怎么知道的？

生3：老師占的空間大，因?yàn)槔蠋煴壬焊摺?/p>

生4：老師還比生：胖一點(diǎn)、厚實(shí)一點(diǎn)，所以占的空間大。

師：不錯(cuò)，老師不僅比生：高，還比他要“寬”和“厚”。

師：物體所占空間是有大小的，我們把這個(gè)空間稱為物體的體積。橡皮所占空間的大小就是橡皮的體積，土豆所占空間的大小就是土豆的體積，那么什么是鉛筆盒的體積？

師：你們能總結(jié)一下，什么是物體的體積嗎？

生5：物體所占空間的大小就是物體的體積。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，概念的發(fā)生完全基于學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)儲備和直覺體驗(yàn)，簡單且開門見山。值得指出的是，在比較教師和生，所占空間的大小時(shí)，筆者并沒有停留于誰占空間大或小的結(jié)果，而是進(jìn)一步追問“你是怎么知道的”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高、寬、厚三維的比較，讓學(xué)生體悟體積是指物體三維空間的大小，深化學(xué)生對體積概念的理解。

二、挖掘本質(zhì)屬性，深化概念理解

張奠宙教授在《從體積的定義說起》一文中寫道：“小學(xué)數(shù)學(xué)的體積教學(xué)，不要在‘什么是體積上做文章。要在體積所具有的特征上下功夫，力求觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，增進(jìn)五年級學(xué)生對體積意義的理解。…‘體積與容積”是五年級學(xué)生學(xué)習(xí)長方體體積知識的起始課，其屬于“度量”教學(xué)范疇，與長度、面積概念教學(xué)有類似之處。體積是對物體三維大小的一種度量，這也是體積的本質(zhì)屬性，同時(shí)對學(xué)生的空間觀念也有一定的要求。因此，教師有必要設(shè)計(jì)三個(gè)層次的活動：第一層次是直觀感受物體占空間;第二層次是直觀比較兩個(gè)物體體積的大小;第三層次是用自定單位來刻畫體積的大小。通過三個(gè)層次的活動積極滲透“度量”意識，為后繼學(xué)習(xí)做好蘊(yùn)伏。

1.問題明辨，深化體積理解

師：一張紙有體積嗎？你有什么想法？大家先討論。

生1：將幾十、幾百、幾千張紙疊在一起，它們是有體積的，所以一張紙肯定也是有體積的。否則如果一張紙的體積是0，那么幾千張紙疊起來也不會有體積。這顯然不對。

生2：把一張紙對折，再對折，再對折……這樣幾次后，紙的厚度就很明顯了，所以一張紙是有體積的。

生3：把一張紙揉成團(tuán)，就是一個(gè)近似的球體，而紙本身的本質(zhì)沒有變化，所以一張紙應(yīng)該有體積。

師：這團(tuán)紙的體積包括紙的褶皺間的縫隙嗎？

生3：不包括，紙的體積只是紙占空間的大小。

生4：一張紙即使很薄，但還是有厚度的，所以也應(yīng)該有體積。

師：大家說的真好。盡管一張紙很薄，但還是有厚度的，也占空間，就是有體積的。

師：在學(xué)習(xí)面積時(shí)，我們說面積是有大小的，現(xiàn)在體積也是有大小的，同樣是“有大小”，它們有什么區(qū)別？

生5：面積是指一個(gè)面的大小，體積是指整個(gè)物體所占的空間大小。

生6：面積是指平面的大小，它沒有厚度，體積有厚度。

生7：面積是二維的，體積是三維的。

問題往往是學(xué)生理解知識的“啟發(fā)點(diǎn)”，通過對“一張紙有體積嗎”這個(gè)“辨點(diǎn)”的討論互動、舉例辯證，讓學(xué)生在深度思考中學(xué)會學(xué)習(xí)，理解體積概念。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生比較面積和體積這兩個(gè)概念，幫助他們進(jìn)一步明晰體積概念的內(nèi)涵。

2.等積變形，培養(yǎng)空間觀念

師：用12個(gè)小立方體能搭出幾種不同的長方體？它們的體積一樣大嗎？為什么？大家先用學(xué)具擺一擺。

師：先說說你搭出了幾種不同的長方體？其他同學(xué)邊聽邊想象這個(gè)同學(xué)搭的長方體是怎樣的。

生1：我搭出了3種不同的長方體。第一種是把12個(gè)小立方體擺成一排;第二種是擺成兩排，每排6個(gè)小立方體;第三種是擺成四排，每排3個(gè)小立方體。

師：你能想象出來嗎？（能）你有沒有擺出和他一樣的長方體？（有）還有誰要補(bǔ)充嗎？

生2：還有一種，用長是3個(gè)小立方體，寬是2個(gè)小立方體，高是2個(gè)小立方體搭成長方體。

師：大家想一下，生2搭的是怎樣一個(gè)長方體，你搭出來了嗎？

師：如圖2所示，我們搭出了4種不同的長方體，它們的體積一樣大嗎？

生3：一樣。因?yàn)槎际怯眠@12個(gè)小立方體搭出來的。

生4：因?yàn)槊總€(gè)小立方體的體積都一樣，且所用的小立方體數(shù)量相同，所以搭出的長方體的體積始終都是這12個(gè)小立方體的和，沒有變。

生5：同意生3和生4的觀點(diǎn)，4個(gè)長方體雖然形狀不同，但體積一樣大。

空間觀念的培養(yǎng)不是一句空話，尤其在幾何圖形的教學(xué)中，更要?jiǎng)?chuàng)造合適的教學(xué)時(shí)機(jī)進(jìn)行學(xué)生空間想象能力的訓(xùn)練。在上述反饋的過程中，教師要求其他學(xué)生根據(jù)發(fā)言學(xué)生的描述想象搭出的長方體的樣子，實(shí)質(zhì)就是進(jìn)行空間觀念的培養(yǎng)。以上教學(xué)活動中，教師不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行了空間想象力訓(xùn)練，更讓學(xué)生體會到“等積變形”的數(shù)學(xué)思想。

3.估計(jì)比較，滲透度量意識

師：通過活動我們對體積有了新的理解，下面考考你的眼力。這里有一個(gè)大立方體（圖3中的右邊），請你猜測一下，它的體積是你手中的小立方體（圖3中的左邊）體積的多少倍？

生1：9倍。

生2：24倍。

生3：27倍。

師：老師準(zhǔn)備了一些大小一樣的大立方體，每個(gè)小組來領(lǐng)一個(gè)，請你們實(shí)際比較一下，看看到底是幾倍。

（學(xué)生操作，教師巡視）

生（齊）：64倍！

師：你們是怎么比較的？

生4：我們用16個(gè)小立方體拼了一個(gè)底座，正好與大立方體底面一樣大，再比較了一下，一共可以搭這樣的4層（如圖4），16x4=64（個(gè)），因此大立方體體積是小立方體體積的64倍。

生5：我們用4個(gè)小立方體拼起來的長度分別與大立方體的長、寬、高一樣（如圖5），4x4x4=64（個(gè)），所以大立方體體積是小立方體體積的64倍。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者通過“估計(jì)比較”活動，促使學(xué)生自然而然地主動用單位立方體進(jìn)行度量，體會“用自定單位刻畫體積”的度量學(xué)習(xí)的本質(zhì)，增加對體積概念理解的厚度。

三、重視比較聯(lián)系，經(jīng)歷概念同化

容積是體積的下位概念，兩個(gè)概念既有聯(lián)系又有區(qū)別，容積概念的建立主要是概念同化的過程。

師：剛才我們了解了體積，今天還要認(rèn)識一個(gè)概念——容積。有誰知道容積的意思嗎？

生1：就好像袋子能裝多少東西，這些東西的體積就是袋子的容積。

師：看看課本上是怎么說的——容器所能容納物體的體積是容器的容積。什么是容器？

生2：比如杯子、書包、抽屜等能裝東西的物體就是容器。

師（出示一個(gè)杯子）：這個(gè)杯子的容積指什么？

生3：杯子里面的空間的大小。

師：圖6中，哪個(gè)杯子里的沙的體積相當(dāng)于這個(gè)杯子的容積呢？

生4：中間的杯子。左邊杯子里的沙太少了，右邊杯子里的沙滿出來了。

師：也就是說，中間這個(gè)杯子容納的沙的體積相當(dāng)于這個(gè)杯子的客積。

隨后，教師再呈現(xiàn)水桶、紙箱、冰箱等圖片，讓學(xué)生說說它們的容積分別指什么。

四、重視實(shí)驗(yàn)明辨，深度理解概念

如果僅僅從文字表面去解讀概念或?qū)滩闹袛⑹龅母拍钸M(jìn)行咬文嚼字式的分析，那對體積和容積概念的理解就還是膚淺的。教師需要設(shè)計(jì)有爭議的“辨點(diǎn)”，讓學(xué)生通過操作實(shí)踐、思考明辨進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，把原本感覺模糊的“辨點(diǎn)”辨清晰了，這樣他們才會有自己深入的理解與表達(dá)。比如，對于“物體的體積一定大于這個(gè)物體的容積”這樣的表述是否正確，很多學(xué)生是模糊的，教師在課堂中往往也是采取回避的策略，但這其實(shí)是明辨體積與容積概念的好素材。

1.提出辯題，自由辨析

出示辯題：“物體的體積一定大于它的容積”，這個(gè)說法對嗎？

學(xué)生相互討論，自由辨析。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為物體的體積不一定大于這個(gè)物體的容積，但說不出理由，有的學(xué)生不敢確定這個(gè)說法是對是錯(cuò)。

2.實(shí)驗(yàn)比較，深度明辨。

師：你們桌上都有一塊橡皮泥，能不能把它制成一個(gè)簡單的容器？判斷一下這個(gè)容器的體積與容積的大小關(guān)系。

（學(xué)生操作后反饋）

生1：如圖7，這個(gè)容器的體積一定大于它的容積，因?yàn)槲以谥谱鞯臅r(shí)候先將一個(gè)小立方體嵌進(jìn)去，做好后再拿出來，所以它的容積就等于一個(gè)小立方體的體積，而橡皮泥揉成團(tuán)的體積遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過一個(gè)小立方體的體積。

師：生1 剛才把做好的容器捏成了一團(tuán)，它的體積變了嗎？

生（齊）：沒有變。

生2：如圖8，這個(gè)容器的容積一定大于它的體積。用跟生1一樣的小立方體放入容器中，可以放三四十個(gè)這樣的小立方體，比揉成團(tuán)的橡皮泥體積要大。

師：真不錯(cuò)，你們都想到了用這個(gè)小立方體作為單位立方體來測量和比較體積的大小。確實(shí)，比較物體體積大小時(shí)，是需要借助相同的體積單位來進(jìn)行的。

生3：橡皮泥做的容器壁越薄，它的容積就越大。

師：你說的對。通過剛才做客器的活動，大家覺得“物體的體積一定大于它的容積”這個(gè)說法正確嗎？

生（齊）：不正確。有時(shí)候物體的體積大于它的容積，有時(shí)候相反。

師：那有沒有可能是一樣的呢？

生（齊）：當(dāng)然有可能。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過制作容器的活動，充分感悟一個(gè)容器的體積與容積之間的關(guān)系，最后清晰地做出了正確的判斷。在明辨過程中，學(xué)生自覺地用單位立方體進(jìn)行容積與體積大小的度量比較，可以說學(xué)生對兩個(gè)概念已經(jīng)有了很好的理解與掌握。

總之，在概念教學(xué)中，我們需要把握概念的本質(zhì)屬性，創(chuàng)設(shè)合理的明辨活動，讓學(xué)生展開深刻辨析，真正促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。

（責(zé)編 李琪琦）