環狀多面體

黃晶　顧嘉聞　朱怡寧　應涵宇　邱為鋼

【摘要】給出了磁棒和小球搭建起來的環狀多面體的頂點坐標，利用數學軟件，繪制了這些多面體的三維圖示.

【關鍵詞】磁棒;環狀多面體;三維圖

兒童玩具中可以搭建成三維造型的有雪花片，塑料長方形積木，磁棒和小球.這些東西其實隱含著比較高深的數學物理，譬如鑲嵌雪花片的滾動模式[1]，塑料長方形積木構造的推廣正多面體[2].磁棒和小球也能搭出以下環狀多面體，如圖1所示.

一個有趣問題是，我們能否知道這些多面體的頂點坐標，然后用數學軟件繪制3維圖形？在這個探索過程中，不僅能學習用到立體幾何，解析幾何，數學軟件，還能把動手和動腦結合起來，融娛樂和學習與一身，實在是空間解析幾何的一個好例題.數學軟件我們并沒有采用中學教師常用的幾何畫板而是Mathematica，它比幾何畫板具有更強大的三維幾何繪制和表現能力.另外為了美觀和與實際模型切配，我們用圓柱管代替線條，小圓球代替點，雖然理論上嚴格推導坐標的假設是線條和點.

我們先從圖1左邊第一種類型的環狀多面體開始，這個多面體的基本單元是正五邊形雙棱錐，如圖2所示.

把這個多面體投影到桌面上，出來一個正多邊形，邊與邊的夾角（內角）是108+60=168度.60度來自正三角形，由兩個五棱錐的兩個底邊磁棒和一個連接磁棒組成.這個正多邊形的外角是180-168=12度，所以這個正多邊形的邊數是36012=30.正五邊形中心，多面體對稱中心以及正五邊形外側頂點組成一個三角形，內角分別為144，6和30度.設磁棒長度為1，那么由正弦定理.原點（中心）到正五邊形中心距離是sin30°sin6°.圖2中的正五邊形雙棱錐的七個頂點相對中心的坐標很容易求得，利用數學軟件的圖形平移和旋轉功能，得到第一類環狀多面體的模擬三維圖是：

搭建實物，仔細觀察如圖1中間第二個環狀多面體的結構和對稱性，發現它具有正五邊形對稱性，基本組成單元如圖4所示：

圖3和圖5是本文的主要結果.整個探索過程，即動手又動腦，融娛樂與學習于一體，體現了數學好玩的特色.實際上磁棒和小球還能搭出更多形狀的多面體，讀者如有興趣的話，不妨仿照本文的思路，把這些玩具多面體也搭建，繪制，和3D打印出來，當作數學探究課題.

【參考文獻】

[1]邱為鋼.玩具中的物理：鑲嵌雪花片的滾動軌跡[J].物理教師，2014（9）：70-71

[2]邱為鋼.玩具與正多面體[J].數學通報，2016（12）：55-57.