數學變形的原則與方法

杜厚壽

【摘要】數學解題的實質是從已知條件出發(fā)，逐步尋求可知，進而求得結論達到未知的系列思維鏈.其呈現形式是一系列從條件或結論出發(fā)進行的命題轉化過程——數學變形過程.文章從為什么要變形（變形目的），向什么方向變形（變形方向），用什么手段變形（變形手段）三個方面給出了思考分析的一般原則與方法.

【關鍵詞】數學變形;變形原則;變形手段

解題的表述過程就是從條件或結論出發(fā)進行的一系列命題轉化過程，即數學變形過程.為什么要變形（變形目的）？向什么方向變形（變形方向）？用什么手段變形（變形手段）？是我們首先要回答的三個主要問題.本文試圖給出其一般原則與方法，以期對讀者有所幫助.

一、變形方向的確定——變形原則

一個式子與命題，往往存在多種可能的變形方向與途徑（可以賦予無數種運算與變形），走哪條路好？怎樣走才最有利？如何選取并確定最佳變形方向就成了解題的關鍵.一般地，應遵循如下原則：

① 熟悉化原則;② 求簡原則;③ 求同原則;④ 直觀性原則;⑤ 逆反原則.

（一）熟悉化原則

熟悉化原則是所有原則中最常用、最基本的原則.許多重要的思想與解題策略都可以看作是熟悉化原則的具體應用，如幾何中空間向平面、曲線向直線轉化;解析法;代數中消元、降次、復數法、換元法、抽象向具體，變化向確定轉化等等.

（二）求簡原則

求簡原則指在解題過程中，往往要從問題的復雜處入手，逐步化繁為簡.立體幾何中，空間向平面轉化;代數證明中往往從復雜的一邊入手，逐步化簡到另一邊，將證明過程變成一個化簡過程;代數變形中消元、降次等等都是求簡原則的具體運用.

（三）逆反原則

差異就是矛盾.數學變形就是矛盾的運動.在解題過程中，讓矛盾的雙方各自向其對應面轉化，這就是逆反原則.如，主元與輔元，已知與未知，常量與變量，一般與特殊，升冪與降冪，消元與添元，直接與間接等等，在變形過程中經常進行相互轉化.

評注 常量與變量是一對矛盾，在一定條件下也可以相互轉化，有些問題不妨將常量視為變量，變量視為常量，則達到出奇制勝的效果.

（四）直觀性原則

數與形是客觀事物不可分離的兩個數字表象，它們有著各自特定的含義，同時又存在著密切的聯系.從不同側面反映著數學問題的本質，充分利用形的直觀性來揭示數字問題的本質屬性，將代數問題轉化為幾何問題求解，這就是直觀性原則.

（五）求同原則

對稱、和諧、簡單、統(tǒng)一，體現了自然界的美，也是數字美學原則之一.消除條件結論中的差異，從而達到和諧、統(tǒng)一，即數字變形中基本原則之一——求同原則.

評注 求同原則主要有兩種表現形式：① 條件向結論化同，為了推出結論;② 結論向條件化同，為了應用條件.

尋找差異，抓住聯系，促進轉化，達到統(tǒng)一是一條適用范圍很廣之變形原則.

三角函數恒等變形中變角法，升降冪法，解題方法中的拼湊變形都是求同原則的具體運用.

二、如何變形——變形手段

常用的變形手段有：拼湊變形，公式變形，代換變形與數形轉換.

（一）拼湊變形

有人說解題過程，無非是猜和湊，有道理.猜，就是猜測解題方向;湊，就是湊此方向.對證明題，因為結論已給，方向已明，所以需要的主要是湊的功夫了.

特別地，在數學歸納法的證明中，第二步的證明可以歸結為“兩湊”.一湊假設，為的是應用假設的結論;二湊結論（n=k+1時命題的形式）.

（四）數形轉換

兼顧數形兩個方面，借助數形轉換來研究問題，① 賦予“數”“形”特征.利用圖像的直觀性，加深對問題本質的理解，避免繁雜運算.② 給“形”定“數”，然后通過對數與方程的研究，實現問題的解決.

以上總結了數學變形中的常用手段，數學變形的手段是豐富多彩，多種多樣.需要同學們從解題實踐中不斷總結積累，從而使自己分析問題解決問題的能力得到鍛煉與提高.