探究一元二次方程根的分布

李英前

【摘要】一元二次方程根的分布作為高中數學的重要知識點之一，在基礎代數理論被引入高中數學時便被提及，具有重要的意義.本文以高中數學的基礎理論韋達定理為基礎，利用這一經典的理論框架，探究一元二次方程根的分布問題，嘗試總結相關規律，并集中分析相關細節.

【關鍵詞】一元二次方程;實數根分布;韋達定理

一、引言及問題重述

一元二次方程根的分布問題是一類初等代數的經典問題，這一問題的解決核心在于如何對方程中的含參變量進行限定和討論，從而確定這一根在實軸上的位置.

對問題進行重述，即為如下情境：

給定一元二次方程ax2+bx+c=0，從代數角度來看，其根值為這一方程的解，從幾何角度來看，其根值為一元二次函數y=ax2+bx+c與x軸的交點橫坐標.由于方程參數的不同，不難得知可能會存在一個、兩個或者沒有交點.這一交點橫坐標嘗嘗被稱為函數的零點.所以，本文所探究的一元二次方程根的分布問題，就是研究這一方程根在x軸上的具體位置.

本文針對以上問題展開研究，為了配合目前的主要研究手段，本文引入韋達定理作為主要研究手段，依托方程根的判別式，不必構造二次函數，直接依托圖像方程的直觀性就可以巧妙地解決這一問題.

二、韋達定理

利用韋達定理求解一元二次方程根的分布問題是研究這一問題最常見的做法.首先引入韋達定理的相關知識點.韋達定理是法國數學家弗朗索瓦·韋達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中所建立的一對數學關系，衡量了一元多次方程的方程根與系數之間的關系.韋達定理的核心之一是根的判別式，而通過對根的判別式的進一步判斷，來分析方程是否存在可以探究的實根.總而言之，韋達定理通過數學方法直接描述了一元多次方程根與系數的關系.所以，本文基于這一分析方法，展開敘述一元二次方程根的分布問題.

首先，列出韋達定理的基本內容，如下所示：

針對一元二次方程ax2+bx+c=0，計算并記為參數Δ=b2-4ac.

如果這一方程存在兩個正根，則參數Δ大于等于0，兩根之和和兩根之積均大于0;如果這一方程存在兩個負根，則參數Δ大于等于0，兩根之和小于0，兩根之積大于0;如果這一方程存在一正一負兩個異號更，則參數Δ大于0，兩根之積小于0.

根據韋達定理，我們不難總結出，一元二次方程存在根的充分必要條件為參數不小于0，所以，基于以上框架展開后續研究.

三、一元二次方程根的分布

為了研究一元二次方程根的分布，我們可以先從與二次方程聯系較為緊密的二次函數出發，將一個一元二次方程問題轉化為一個一元二次函數問題.從而以函數的角度來推導出相關的引理和論證部分.

（一）零分布

首先，介紹一元二次方程根的零分布.零分布指的是一元二次方程根相對零的關系，在圖像中即為曲線與x軸交點與原點之間的位置相關關系.一般有三種情況：均在原點左側，均在原點右側，分布在原點左右.

四、問題求解要點

通過上述分析，我們可以總結出一個可用的解題框架，以下列出一些相關要點，主要包含如下五個方面.

第一，觀察方程的二次項系數.對一個方程來說，雖然他的表達式中存在二次項，但是如果這一二次項含有參數，必須謹慎對待.必須對這一二次項系數是否為零進行合理的討論，從而確定對應的函數圖像是一條直線還是一條拋物線.如果是一條拋物線，再利用本文所介紹的相關方法進行深入研究.

第二，根據方程參數計算參數Δ=b2-4ac，這一參數直接決定了這一一元二次方程是否有根，有幾個根，利用這一公式可以快速判斷.

第三，利用上文介紹的韋達定理計算相關參數并進行判斷.韋達定理可以幫助我們快速了解到一元二次方程根所具有的具體正負性情況，但是韋達定理的適用范圍有限，在大多數時候沒法直接得出根的具體值，但加以合理利用可以迅速解決一系列題目.

第四，計算并觀察一元二次方程的對稱軸.對一元二次方程衍生出來的二次函數問題，二次函數的對稱軸不僅僅決定了圖像所具有的最高點和最低點的位置，也直接影響了關于這一對稱軸所對稱的圖像和相關點的性質，另外，對稱軸與圖像的交點往往具有一定的極性，值得深入判斷.

第五，最后，觀察區間端點的函數值.這一步驟主要用來控制函數圖像的相關函數值，未來高等數學中所經常使用的夾逼定理，就是對這一方法的進階版應用.通過相關技巧可以把圖像與x軸的交點劃入更加細的指定區間范圍，從而快速解決問題.

總而言之，作為一類較為經典的，已經經歷過廣泛研究的問題，一元二次方程根的分布具有較多的基礎特性，值得我們深入挖掘和思考.作為一類活躍在各個范圍內的基礎考試題，我們必須充分利用各類技巧和工具，力求做到完美解答一元二次方程根的分布的相關問題.

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