矩陣對角化的案例教學

詹環(huán)　羅俊芝　李慧珍

【摘要】矩陣對角化在求解微分方程組、曲面的標準形以及動力系統(tǒng)中有著非常廣泛的應(yīng)用.選取貼近生活的案例引入矩陣對角化的概念，引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立并求解防御支出模型.采用探究式教學方法，可以激發(fā)學生的學習興趣，提高學生數(shù)學建模應(yīng)用能力.

【關(guān)鍵詞】矩陣;對角化;案例

矩陣的對角化是矩陣運算的重要方法，它在電路網(wǎng)絡(luò)、振動理論及控制論等應(yīng)用領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用.當前矩陣對角化教學中存在的問題是教材中的矩陣對角化概念方法經(jīng)過高度的抽象脫離了相似對角化產(chǎn)生的背景，學生容易感到枯燥、困難，不利于培養(yǎng)學生的探索精神.選取現(xiàn)實生活的熱點作為矩陣對角化案例，通過學生的自主思維探究討論達到拓展學生知識，培養(yǎng)學生解決問題能力的目的.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入案例

軍備競賽是指和平時期國家之間為了應(yīng)對未來可能發(fā)生的戰(zhàn)爭在軍事裝備方面展開的質(zhì)量和數(shù)量上的競賽，是一種預(yù)防式的軍事對抗.激烈軍備競賽必須選擇在必要的時候進行，沒有必要的激烈軍備競賽會延緩自身經(jīng)濟的發(fā)展，一定程度上引發(fā)不必要的敵意.裁減軍備的行動必須是在有利于自身國家整體戰(zhàn)略的前提之下進行的，需要保留的力量要足以對潛在敵人形成足夠威懾又能夠通過時間作用轉(zhuǎn)移潛在敵人的矛頭，以換取自身的更大生存空間，防御支出模型可以為軍備競賽提供一定的參考依據(jù).

例1 考慮甲、乙、丙之間的軍備競賽，防御支出率是指國家在時刻t的防御支出變化量.定義甲、乙、丙之間的防御支出與時間t（以年為單位）的關(guān)系分別為x1（t），x2（t），x3（t）.試建立防御支出模型.

分析 乙、丙軍備越大，出于安全的考慮，甲的防御支出增加得越快，則國家的防御支出的變化量與其他國家的防御支出成正比.其次，在一定的財政收入下，軍費增加會擠占其他產(chǎn)業(yè)的需求，甲的防御支出越多，經(jīng)濟對軍備的制約越大，軍費的增加變慢，所以國家的防御支出率與已支出的防御費用成反比，防御支出模型為一個常系數(shù)微分方程組.

四、小 結(jié)

矩陣對角化不僅可以簡化矩陣運算，化二次型為標準形，還可以用來求解線性常系數(shù)微分方程組.為了使學生能夠更好地理解矩陣對角化的概念，本文從一個軍事案例入手引出矩陣對角化的概念，引導學生運用所學概念解決問題，在運用中鞏固概念，使學習過程成為探究過程.從而激發(fā)學生興趣，拓展學生思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

【參考文獻】

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