數學課堂中探索性問題的解題策略研究

趙科

（淳安縣姜家鎮初級中學，浙江 杭州 311722）

一、問題緣起

從數學的發展史看，數學的產生和發展總包含著數學解題策略的產生、積累和發展，而人們在研究數學本身的同時，也就開始了對數學解題策略的研究。在初一階段，學生剛從小學升入初中，思維能力還處于低級階段，幾乎不會分析問題，解決難題目。只會正向思維，直白的題目做下。而中學數學越來越難，單單直白的解題已經完全不能滿足初中數學的需求。數學新課程標準的課程目標中指出讓學生“經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法”。所以為了使學生能更好的去解決問題，在同一個問題的解答過程中能使用最優方案，就必須培養學生解題的策略，而且解題策略的研究會使學生在探索性問題的解答過程更得心應手！

二、概念界定

（一）探索性問題的定義

一般來說，探索性數學問題具有以下一些特征：非完全性，不確定性，探究性，靈活性。所以本文認為探索性問題就是指數學題目中條件、結論不完整，解題方法、依據不唯一，需要解題者靈活的運用各種解題方法，去探索思考解決題目。

（二）數學解題策略的定義

自從人們提出解題策略這個概念以來，已有很多人對它發表了自己的理解與看法。我對解題策略的定義是：運用各種數學思想來分析題目，再運用適當的數學方法來解決題目，這就是解題策略。

（三）探索性問題的解題策略定義

運用各種數學思想來分析不常見的、沒有特定解題步驟的題目，再不斷的嘗試用各種解題方法，直到找到行得通的方法來解決問題。

三、解題策略的產生過程

無論解題策略是怎么定義的，總有選擇的過程，即主體通過審題將原始問題中的信息吸收并且化到主體原有的認知結構中，在追求問題解答的這種內驅力的推動和調節下，使原有的認知結構發生改組和重建，并且提出階梯問題，以便借助這些階梯問題解決原始問題的過程。如探索性問題的求解總是比較困難的，往往需要從不平常的角度來考慮問題，這就需要我們原有的認知結構改組，而從題目中我們獲取了新的信息，這就得與我們原有的知識進行同化，最后重組成新的認知結構，可以更好的分析題目。比如若題目給出2 ⊕3=6，3 ⊕4=12，那么我們就必須重組認知結構，在做這道題目中不能把⊕當作+來使用，而應當作×來使用。

根據波利亞的解題思想的理解，我將解題策略分為如下四個階段：

1.列出方法 ，即根據題意，主體盡量多的想出解題的方法來。2.指明方向 ，即主體在弄清問題的基礎上，初步辨認問題的癥結所在，通過廣泛的聯想，迅速的局部推理和活躍的直覺，逐漸形成一種產生解題策略的心向。3．選擇策略，對于不同類型的題目，必定有常規的方法和特殊的方法。選好了策略還得選擇一個正確的解題順序，否則就會影響解題的速度和精確度。4．運行策略，根據所選的解題策略，一面探索，一面前進。用邏輯的方法驗證策略的可行性。如果驗證的結果表明所選擇的策略不可行，則應檢查是否在運算過程中發生了錯誤，或是未能充分利用已知條件。如果有補救的方法不妨試之，否則就應重新根據階段二另選策略。那為什么自己選的策略會行不通呢？其原因是解題策略的發現過程。

四、對探索性問題的解題策略

新課標的教學建議指出“教師要把基本理念轉化為自己的教學行為，處理好教師講授與學生自主學習的關系，注重啟發學生積極思考”。而探索性問題的教學能很好的這點做到，所以結合有關文獻資料和對中學數學的理解，我對探索性問題的解題策略經行了研究，總結出以下幾點：

（一）問題轉化

解答數學習題，作為創造性的思維活動過程，其重要的特點是思維的變通性和流暢性。當主體接觸的問題難以入手，那么思維不應停留在原問題上，而應將原問題轉化成一個比較熟悉的，比較容易解決的問題。通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的。所以問題轉化也叫做化歸。

（二）以退求進

解數學習題時“先退到足夠我們所最容易看清楚問題的地方，認透了、鉆深了，然后再上去”。這就是以退求進。也就是常說的從一般到特殊，從復雜到簡單，從抽象到具體，從多到少等等。但是用這種策略時我們必須防止以偏概全的毛病，必須注意特殊化本身的局限性。要“善于‘退’、足夠的‘退’，‘退’到最原始而又不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅”（華羅庚語），在教學中對于有些復雜難解得問題，可引導學生退到簡單易解得地步，以探求原題的階梯信息是解困的又一方略[4]。

（三）特殊化與一般化

梅森（J.Mason）是英國開放大學數學教學中心的主任，他在數學方法論的領域內著有《數學地思維》（Thinking Mathematically）、《學數學、搞數學》(Learning and Doing Mathematics)等著作。在這些著作中，梅森集中地研究了數學中的特殊化與一般化方法及其解題過程中的作用。按照梅森的觀點，特殊化與一般化正是數學思維的核心，同時也是怎樣解題的關鍵所在。

特殊化通常是指考慮一般性命題的特殊例子，或如波利亞所說：“是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個較小的子集，或僅僅一個對象。”在數學中，特殊化可以指用具體的數字去進行代入，也可以指就“極端”的情況進行考慮，還包括作出具體的圖象等。

例：一個農夫有若干雞和兔子，他們共有50 個頭和140 只腳，問雞和兔子各有多少？

該題其實與七年級數學教材2.3 解二元一次方程組的節前題是同一道題，只是數據不一樣。對于這道題目波利亞給出了一個十分巧妙的解法，其核心就是如下的假設：“農夫驚異地看著雞兔們非凡的表演：每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來。”顯然，在這種情況下，總腳數只出現了一半，即70 只腳。在70 這個數里，雞的腳數是與雞頭數相同的，而兔子的腳數則是頭數的二倍，從而，從70 里減去總的頭數50，就是兔子的頭數70-50=20。20 只兔子，當然雞就是30 只了。

這就是特殊化的應用，即將原題目用特殊的方法來做。梅森指出，由于數學中特殊化具有明確的目的性，即為了更好地了解所面臨的問題、發現可能的解題策略等，我們在此就不應對任意的特例去進行考慮，而應特別注意那些我們較為熟悉的、能較有信心地進行操作的對象。因此，梅森寫到：“特殊化是一個相對的概念。”這就是說，特殊化是與個人的特殊經驗和能力直接相關的，在某個人看來是特殊化的東西對另一個人來說就可能是十分抽象的。一般地說，有如下法則：有效的特殊化意味著使用你能夠很有信心地予以操作的對象。這種做法當然是因為波利亞有很強的功底，但主要還是憑偶然的試算和運氣。可不知道你發現沒有，這種方法其實是有一般的式子的。梅森指出，相對與特殊化而言，一般話是較為困難的。然而，一般化又是數學創造的基本形式，因為，數學認識的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實或規律。

有了特殊化，學生能在解決填空選擇題時節約很多時間，特殊化一般沒有什么特定的書寫格式，而且一般能快速的解決一些題目，比如說“特殊值法”學生能更快的得到答案；而一般化是學生將知識點內化的一個必不可少的過程，如果沒有這個過程，學生在做題時會感到每次都在做新題目，會浪費很多時間。有了一般化以后的知識點，再特殊化的題目只要能發現其中的基本題型，就能找到突破口，從而使學生在解決探索性問題時事半功倍。

（四）化歸原則

匈牙利著名數學家Rosza Peter 在其名著《無窮的玩藝》中曾舉過一個有趣的事例：

有人提出了這樣一個問題：“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應該怎么樣去做？”對此，某人回答說：“在壺中灌上水，點燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上。”提問者肯定了這一回答。但是，他又追問：“如果其他的條件不變，只是水壺中已經有了足夠的水，那么你又應該怎樣去做呢？”這時被提問者往往會很有信心地回答道：“點燃煤氣，再把水壺放上去。”但是，這一回答卻未能使提問者感到滿意，因為，在后者看來，更為恰當的回答是：“只有物理學家才會這樣做。而數學家則會倒掉壺中的水，并聲稱他已經把后一問題化歸成先前的已經解決了的問題了。”

Rosza Peter 指出，這種思維方式對數學家來說是十分典型的。這就是說，“他們往往不是對問題實行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化成能夠得到解決的問題。如果把“化歸”理解為“由未知到已知、由難到易、由復雜到簡單的”轉化，那么，我們就可以說，數學家思維的重要特點之一，就是他們特別善于使用化歸的方法去解決問題。從解題策略的角度來說，這也就是所謂的“化歸原則”。

數學中的化歸有其特定的方向，一般為化復雜為簡單、化抽象為具體、化生疏為熟悉、化難為易、化一般為特殊、化特殊為一般、化“綜合”為“單一”、化“高維”為“低維”等。

在教學過程中讓學生逐漸悟出數學中常常把新知識轉化已知知識、把特殊轉化為一般的解決問題的思路和方法。教師重視數學思想教育發揮數學思想方法在數學中的作用，確實是培養學生創新精神與應用能力、提高學生綜合素質的一個重要途徑。將探索性問題化歸成幾個基本題型是教師應該培養學生的方向。

（五）建立模型

新課標的設計思路中有提到“使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程”。這就是我們常說的數學建模，所謂數學建模，就是將某一領域或部門的某一實際問題，通過一定的假設，找出這個問題的數學模型，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。數學建模是一種數學解題策略，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。實際問題一般都類似于探索性問題，學生能運用數學建模來解決實際問題，是一種數學的應用，也是自身的能力體現。

五、結束語

對于學生解題策略的多樣性是靠平時做題時積累的，沒有平時積累的數學思想和數學方法，那就不能找到最好的解題策略，也許還不能解決問題，所以這就需要老師平時要多總結，以便讓學生可以有目的性的積累。根據我在論文寫作過程中對資料的理解，我認為解題策略即是指自己能又快又準確的解出題目，從而選擇的各種數學思想和數學方法的一個集合體。當你發現別人的方法比自己的好時，你下次做題目肯定會選擇那更好的方法，也就是你新的解題策略。