基于中學數學核心概念的教學嘗試

江蘇省南京市第十三中學 袁 云

數學概念是反映現實世界的空間形式與數量關系本質屬性的思維形式，一種是直接從實物的空間形式和數量關系反映得來，如幾何中的點、線、面等，算術中的自然數等。二是在原有的數學概念的基礎上，經過多層次的概括而形成。依據《普通中學數學課程標準》，要注意以下兩點：第一，基本概念和基本方法的理解和掌握。新課程要求“對一些核心概念和基本思想要貫穿中學教學的始終，幫助學生逐步加深理解”，新課程的實施關注“核心概念”，并要求“貫穿始終”。第二，注重聯系，提高對數學整體的認識。要求“教學應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力”。說明教學中以核心概念為載體，將中學數學內容串聯起來，使學生獲得的知識更加具有系統性、廣泛性。

數學概念確有核心與非核心之分。例如，函數與函數的定義域這兩個數學概念，一個具有奠基性意義，另一個只是一類數學對象的約定俗稱，兩者的內涵和外延相去甚遠。若把內涵豐富的概念簡單化處理，則造成概念理解不到位；若把簡單的概念復雜化，則造成學生的負擔。中學數學核心概念指中學數學概念主要的中心部分，是數學課程中的主要概念，是數學知識結構中的聯結點，由其反映的數學思想方法是聯系數學知識的紐帶，其他概念或由它生成或與它密切聯系的概念。對于數學核心概念的辨別主要幾個標準：第一，概念是否具有重要性，處于主干地位。第二，對于學生的數學認知結構而言，是否具有重要性、不可或缺的基礎地位。第三，在數學上是否具有邏輯的連貫性和一致性，概念與其他概念之間的關聯程度及其在相關數學內容中貫穿程度。對于學生而言，理清核心與非核心概念之間的聯系，能較好地把握數學知識之間的發展脈絡，在概念的發生發展的過程中挖掘其中所蘊含的數學思想方法。

例如，對于橢圓的教學延續圓的研究順序，“定義-方程-性質”。類比圓的定義，由平面內到一個定點距離為定長的動點軌跡到平面內到兩個定點距離之和為定值（強調定值要求）的動點軌跡。聯系都與到定點距離有關，而且動點滿足的條件都確定，所以都可以用直接法，通過“建系-設點-列式-化簡”得到軌跡方程。在研究幾何性質過程中，類比圓怎樣研究和研究什么。首先通過觀察圖形直觀感受，得到結論，再從方程的角度進行驗證，也體現了數形結合的思想。之后研究其他方面，橢圓之所以是橢圓而不是圓，源于形狀，一樣是橢圓又分大小，同一個橢圓位置不一樣也不同，進而從大小、位置、形狀三個角度研究。

角度一：橢圓位置的確定。類比圓，圓的位置通過圓心的位置確定。橢圓則可以通過焦點的位置確定；二是交點（橢圓與坐標軸的交點），進而給出頂點定義，并且利用方程給出坐標，解釋頂點的含義。同時提出兩者都可以確定位置，兩者之間必然有聯系。如果給定四個頂點怎么找焦點，學生利用找出特征三角形，確定了焦點的位置。同時也合理地解釋了在求標準方程時，利用進行化簡的合理性和必要性，一并指出a，b，c的幾何意義。

角度二：橢圓的大小限制因素。類比圓，圓的大小可以通過半徑確定，圓的大小受到外切正方形的限制。從方程角度驗證出x，y的范圍。推廣到橢圓的頂點不僅確定了橢圓的位置，同時還限制了橢圓的大小，橢圓的大小受外切矩形的限制。接著從代數的角度論證，把頂點的限制轉化為坐標的限制，利用方程，移項求出x，y的范圍。

角度三：橢圓的形狀特點。觀察：類比圓具有對稱性，即是中心對稱又是軸對稱。從代數角度驗證：對于橢圓上任意一點，寫出關于中心或軸的對稱點，代入方程驗證，滿足方程則對稱，不滿足不對稱。二是橢圓的扁平程度的影響因素。學生首先想到a，b，若a定b變大，則圓一些，若b定a變小，則圓一些，若兩者都變，比值不變，則形狀不變，只改變大小，比值變大則圓一些。接著提出：b是后來引進的，能否由a，c 的關系確定橢圓的扁平呢？發現三者之間的聯系：，比值越大越扁。同時，引入離心率的概念確定a后，c越大，焦點距離中心位置越遠，橢圓越扁。

在學習完圓的知識，類比研究橢圓延續了學習的連貫性，接著研究雙曲線、拋物線也是一脈相承，首先是研究順序：定義—方程—性質。研究方法：觀察-概括-驗證。既注重研究方法的一致性，又注意兩者之間的區別，使得后續的教學變得非常輕松而且效果好。為什么圓不作為核心概念而是選擇橢圓呢？其一，圓在初中大家就已經接觸過了，圓的形狀很特殊也易于掌握。橢圓是圓錐曲線中最重要的對象，處于主干地位。其二，對于學生的認知結構而言，橢圓是圓錐曲線的開張篇起到承上啟下的作用。其三，在“圓-橢圓-雙曲線-拋物線-一般曲線”的知識的發展脈絡中，無論是知識還是研究方法，橢圓都處于核心地位，具有紐帶作用。

抓住數學的核心概念來開展教學，以核心概念為著眼點就不會在細枝末節上浪費時間，使得所有的教學直接指向數學教學內容本身。抓住核心概念和其他概念的聯系，保持知識的連貫性，同時借助數學思維的模式和研究方法的一致性，讓學生的認知更加完整，知識掌握更加系統。