夯實原理、善于歸類、巧用方法
——高中數學競賽中數論問題的解決

浙江省衢州二中高三一班 謝聞哲

初等數論的理論知識在高中數學競賽題中應用十分廣泛，其作為銜接中學數學與高等數學的橋梁，對學生的思維意識培養具有重要作用。在高中數學競賽中，涉及數論知識的競賽題都具有很強的綜合性，很多時候，只需要通過很小一部分數論知識就可以衍生出無窮的變化。因此，筆者認為，數論問題的解決要從夯實原理，學習理論基礎開始，然后在做題的過程中分析每一道題目的解題過程，將題型進行分類總結，最后才能在形式多變的數論題型中巧用解題方法，游刃有余地進行解答。

一、夯實數論原理，奠定基礎知識

在做與數論有關的數學競賽題時，有時我們會發現一些題目表面上看起來非常陌生，讓人感到無從下手，這時如果我們能借助原始的定義和概念，對基本性質或者相關定理進行推廣和改進，我們就會在不經意間解決看似十分復雜的難題。因此，在平時的學習當中，對數論原理的基本概念和定理的牢固掌握十分必要，只有在具備一定基礎知識的基礎上，才能夠在面對數論題目時，做到以不變應萬變。

例如，以下這道競賽題中，就體現了整除理論中基本性質和定理的應用：（04年捷克）如果（k∈Z)是整數，求k。

本題中所出現的題目形式非常簡單整齊，但是我們一時間并不知道采取哪一種方法，故而將題目回歸到簡單的題型當中去，首先采取試探加估測的辦法，證明在取較小的整數值時是成立的，然后再根據題目的特點進行合理的變形，這樣我們就由簡單的情形求得了一般做法。因此，想要深刻理解數論的基本概念和性質，首先要通過訓練一定數量的相關習題，在練習題中發現其性質和概念的巧妙應用，進而一步一步深化知識，假以時日定能顯現成效。

二、分析解題過程，進行總結歸納

在學習數論的過程中我發現，盡管一些同學的基礎知識已經很牢靠了，但是在做某些題目的時候，還是會在解題過程中有所困頓，感到沒有方法可循。因此，筆者結合自身經驗來看，我認為掌握了一定的數論基礎知識之后，還要在具體的解題過程中認真分析每一道題目的解題方法，并將這些解題方法與其相對應的題目進行歸類。只有在總結和歸納中我們才能提升對問題的分析和解決能力，甚至在一定程度上達到舉一反三的效果，最終提煉出自己獨有的意識成果。

例如，筆者在數論學習的過程中發現數學歸納法在數論中有廣泛的應用，比如下面一道例題中，就體現了此方法的應用。

（50屆IMO題1）設n是一個正整數，a1，a2，…，ak（k≥2）是集合{1，2，…，n}中互不相同的整數，使得對于i=1，2，…，k-1，都有n|ai（ai+1-1），證明：nak（a1-1）。

在這道題目的解答中，我們可以先證明對于任意整數i（2≤i≤k），都有n|a（1ai-1）成立，然后根據整除的基本性質得出n|a（1ai+1-1），最后根據數學歸納法，推出nak（a1-1）的結論。顯然，本題應用了數學歸納法來解決數論問題，此方法的巧妙之處就在于遇到這一類題目時，我們首先就會有一個明確的思路，在這樣的思路下，即便是我們不理解問題的本質，也能順著思路將題目按部就班地做出來。因此，在平時的練習中，我們要多分析題目的類型和與之對應的數學方法，這樣在遇到同類問題時，就可以減少我們思維的難度，提升解題的準確率。

三、巧用解題方法，游刃有余解答

正確的解題方法是解決數論問題的關鍵，因此，在平時的練習過程中，我們要注意觀察和分析，培養思維的靈活性和發散性，學會將數論問題中的解題方法恰當巧妙地應用到對應的題型中去，做到對癥下藥。這樣一來，在解答題目時，我們就不會自亂陣腳，反而會感到得心應手，游刃有余。

例如，同余理論和整除理論具有十分緊密地關系，尤其在整除理論的問題中，我們常常會遇見判斷數的整除類問題，由于這一類的題目往往具有一定的技巧性，如果我們在學習中注意觀察和分析，就會發現，在解這一類問題時，如果能恰當地將同余理論應用其中，就能更加深刻地看到問題的實質，從而降低解題難度。另外，還有一些競賽題目具有一定的趣味性和靈活性，有的時候像是在玩一個小游戲，有的時候又像是在解決生活中的實際問題，為了解決這類題型，在平時的練習中，我們就要多接觸一些構思巧妙、富含創意的數論題型。這樣一來，既可以激發我們對數學的熱愛，還能夠幫助我們開拓視野，養成獨到的思維和見解。因此，巧用解題方法，對于我們競賽能力的提升，具有重要作用，在遇到一些難題怪題時，還會讓我們在解答題目時有一種“撥云見日”的感覺。

總之，高中數學知識競賽中初等數論的題型難度通常較大，這就需要我們能夠保持一顆平常心，以自信樂觀的態度面對，當然，這必定是一個需要長期不斷積累的過程，不能急功近利，不然就會出現事倍功半的現象。因此，為了更好地提升我們的綜合能力，我們要在穩固基礎知識的前提下，通過有針對性地分析和歸納，巧妙運用最恰當的解題方法，這才是我們學習數論知識的最佳方式。