分類討論思想在初中數學解題教學中的運用

江蘇省蘇州市吳中區光福中學 孫洪青

初中數學解題教學是一項至關重要的教學環節，主要關注的是學生解題能力的培養，引導學生運用已學數學知識與方法解決數學難題和生活中的數學問題，提升解題有效性，推動思維進步。分類討論思想在解題教學實踐當中有著顯著的應用價值，是提高學生解題準確性和解題效率的策略，也有助于提高學生思維的完善性和解題的正確率。初中數學教師應該讓學生認識到分類討論思想在數學解題中的應用價值，讓學生掌握在解答數學問題時進行分類討論的方法。

一、分類討論思想在初中數學解題教學中的應用重要性

受當前教育改革全面推進的影響，初中數學教學受影響比較深刻，而且為了適應教學改革的要求，也在進行著教學思想與方法的調整。初中數學這門學科是初中階段的基礎課以及核心課程，在培養學生邏輯思維能力方面擁有極大的優勢。再加上初中階段正是學生學習和發展的黃金階段，不少學生在這一時期保持了強烈的好奇心以及探索熱情，那么在實際教學當中要關注學生的這一特點，在具體教學實踐當中靈活運用多元化的教學方法。初中數學的解題教學關鍵點是讓學生掌握數學解題的思路以及有效方法，不過學生在實際解題時經常會接觸到需要進行分類討論的一類問題，而此類問題也能夠助推學生思維能力的發展。分類討論在數學解題當中至關重要，是不容忽視的數學思想方法，也是解決實際問題，提升解題有效性的一個重要因素。不過不少學生在實際解題時卻不知道要怎樣進行分類討論，不能夠明確其應用價值，因此需要教師結合教學內容和學生的學習實際創設一定的學習情境來引導學生合理應用這一方法，啟迪和引導學生在解題當中靈活把握和運用分類討論，揭露這一思想方法的本質，逐步引導學生建立分類討論的意識。由于實際教學當中要研究的對象擁有差異化的屬性，因此會在很大程度上影響到問題研究結果，而研究當中的問題有了其他情況，就要在分類討論的指導之下順利解題。從這些層面上看學習，并且掌握分類討論思想的應用方法是初中生的必備素質，也是數學解題教學的要點。

二、分類討論思想在初中數學解題教學中的應用策略

1.分類討論思想在初中幾何解題教學中的應用

幾何知識是初中數學課程內容體系當中的一個重要的構成部分，也是一個大的學習模塊，其中涵蓋著諸多與圖形相關的數學知識。在這一大類數學題的解答過程當中，通過使用分類討論的思想方法，可以引導學生深入全面地研究幾何圖形，歸納其中涉及的知識與方法。比方說，在探索圓和直線關系這部分幾何知識的教學當中，結合圓心到直線距離和半徑的關系，可以確定圓和直線有相離、相切與相交這幾種位置關系。顯而易見的是，這實際上就是極具代表性的分類討論的體現。除此以外，在求解直角三角形三邊長的數學題當中也需要用到分類討論的方法。例如：有一個直角三角形知道兩個邊長分別是4厘米和6 厘米，求另外一邊的長是多少。從表面上看這道題是很簡單的，利用勾股定理就能計算的問題，不過有不少學生因為考慮不全而出現解題中的失誤，出現失誤的主要原因是并沒有考慮給出的兩條邊究竟是斜邊還是直角邊。于是在實際解題當中要劃分兩種情況，實施分類討論，第一種情況是直角三角形的斜邊長是6 厘米，一條直角邊是4 厘米；第二種情況是直角三角形的兩條直角邊分別是4 厘米與6厘米。這樣解答出來的問題才是全面和準確的，才算是對分類討論思想的合理化應用。從本質上看，分類討論思想是數學思想方法中的一個類型，在解題當中應用該思想方法可以助推學生思維能力以及解題水平的提升。尤其是在課程改革要求關注學生綜合實踐素質培養的背景下，解題教學成為提高學生綜合素質的重要路徑，于是在教學當中滲透分類討論思想是非常必要的，可以為學生的幾何學習注入動力。

2.分類討論思想在初中代數解題教學中的應用

數學問題的解答與分類討論有著密不可分的關系，而且分類討論的重要價值不僅體現在初中幾何學習方面，還體現在代數領域。代數這部分的知識有著嚴密的邏輯，對學生邏輯思維和思維嚴謹性有很高的要求。要想讓學生輕松解決代數方面的數學題，除了要完善學生的推理能力之外，還需要發展學生的綜合思維，促使學生可以在面對問題時，通過研究已知與未知數量之間的關系來確定思路和撥開迷霧解決問題。縱觀大量的代數問題，最為明顯的特點是多解性。基于這樣的情況分類討論思想恰好是數學多解性問題的有效解決方法。例如，在教學一元一次不等式時，其中涉及了很多的代數應用題都具備多解性的特征，需要學生應用好分類討論思想，避免產生求解不全面的問題。如：工廠為了增加規模，想要購買5 臺機器生產零件。在購買時有A、B兩種機器選擇方案，這兩種機器價格和每日生產零件數量分別是5 萬元與4 萬元，80 個和50 個，要求購置資金在22 萬元之內。假如工廠購入的機器，每天生產零件數量不能夠少于280 個，為保證資金花費最少可以選擇怎樣的方案？這個問題就是一個典型的多解性問題，需要運用到分類討論的思想，通過從整體上研究，可以確定有三種選擇方案，一種方案是只購買5 臺B種機器，一種方案是購置A種機器1 臺，B種機器4 臺,另一種方案是購置A種機器2 臺，購置B種機器3 臺。在函數以及方程等代數問題的求解當中，都需要分類討論方法的應用，以便保證求解全面和思考全面。這就需要教師在實際教學當中進行分類討論思想的有效滲透，讓學生逐步確立起分類討論的主動意識。

3.分類討論思想在實踐課題解決教學中的應用

數學這門課程和其他課程相比，對學生的思維理解能力以及學習能力的要求會更高一些，特別是在解答數學問題的過程當中，更是增加了對學生邏輯思維與綜合研究能力的要求。不過我們也必須要看到初中生缺乏豐富的學習經驗，同時在各方面的能力發展上還是存在一定限制的。正是基于這方面的原因，伴隨著新課程改革的落實，初中數學教材當中增加了課題研究等實踐性的活動，以便更好地提高學生的綜合能力，也給初中數學解題教學提出了難題。在很多課題實踐活動當中要順利地解答問題，必須運用好分類討論思想，針對這樣的情況，數學教師需要讓學生明確分類討論在實踐課題研究當中的應用作用，合理優化課題活動的流程與實施方法，讓學生應用分類討論思想解題時更加順利。例如，在方案選擇的課題研究活動中，教師可為學生設計以下問題來引導學生利用分類討論思想：某奶類生產工廠目前有9 噸鮮奶，假如直接銷售，每噸的利潤是500 元。如果將其制作成酸奶再進行售賣，可獲利潤為1200 元。如果是制作成奶片，每噸的利潤是2000 元。工廠的生產力是有標準和限制的，假如是制作成酸奶，每日加工量為三噸；制作奶片，每日加工量是一噸。兩種加工方法是不能夠同時開展的，而且所有加工和銷售工作要在4 天之內完成。請設計方案并進行分類計算。

總而言之，分類討論思想方法在解決初中數學教學方面有著不可忽視的應用價值，而且在不同類型題目的解答當中都有所涉及。分類討論思想方法能夠讓學生的數學解題效率和質量大幅提高，但是只有當學生真正掌握了這些方法和技巧，才能夠更加靈活恰當地應用解題。這就需要教師在教學指導方面付出更多的努力和精力，加強分類討論思想的滲透和指導，增強學生的解題能力和數學素養。