幾類務必要掌握的排列組合問題

■河北省唐山市樂亭第一中學 何镕辛

排列組合問題不但聯系實際,而且注重能力與應用的考查。它主要涉及化歸與轉化思想以及分類討論思想,題型多樣、思路靈活。下面通過實例介紹幾種排列組合問題的解題策略,供大家參考。

一、相鄰問題——捆綁法

此類問題就是將相鄰的幾個元素視為一個整體,把它看作一個元素進行排列,故稱捆綁法。

例13個女生和5個男生排成一排,其中3個女生必須排在一起的不同排法有( )種。

A.2160 B.4320

C.1080 D.540

解析：因為3個女生要排在一起,所以將3個女生視為一人,與5個男生進行全排列,有A種不同排法。對于其中的每種排法,3個女生之間有A種不同排法,所以由分步計數原理可知,共有A·A=4320(種)不同排法。故選B。

二、不相鄰問題——插空法

此類問題先排好沒有限制條件的元素,再將指定的不相鄰的元素插入它們的空隙及兩端位置,故稱插空法。

例2由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字且1與2不相鄰的六位數,這樣的六位數共有 個___。

解析：因為數字1與2不相鄰,所以可用插空法解題。先排數字3,4,5,6,有A種不同排法,每種排法留出5個空位,再將1,2插入,有A種排法,所以由分步計數原理可知,共有A·A=480(個)不同的數。

三、帶有限制條件問題——優先法

這是一類純排列問題,當問題中有了特殊元素或特殊位置,應優先排好有限制條件的元素或位置,再考慮安排其他元素或位置。

例31名老師和4名同學排成一排照相留念,若老師不排在兩端,則共有多少種不同的排法?

解法1：優先考慮特殊元素,先排老師,老師不排在兩端,只能從剩下的3個位置選1個,有A種排法,然后4名同學站在另外4個位置,有A種不同排法,由分步計數原理可知,共有A·A=72(種)不同排法。

解法2：優先考慮特殊位置,先排兩端,從4名同學中選2人排兩端,有A種不同排法,再安排其余3個位置,有A種不同排法,由分步計數原理知,有A·A=72(種)不同排法。

四、“至多”或“至少”的問題——直接法或間接法

含“至多”或“至少”的排列組合問題常有兩種解法：一種是直接法,即按題設條件分類,然后分類計算選法種數;另一種是間接法,即先不考慮限制條件計算選法種數,然后減去不合條件的選法種數。

例4某小組共有10名學生,其中女生3名,現選舉2名代表,至少有1名女生當選的不同的選法有( )。

A.27種 B.48種

C.21種 D.24種

解法1：(直接法)分類解決,顯然滿足題意的選法有兩類：一類是1名女生,1名男生,選法有C·C=21(種);另一類是2名女生,選法有C=3(種)。故至少有1名女生當選,有C·C+C=24(種)選法,選D。

解法2：(間接法)先不考慮限制條件,10名學生選2名代表的選法有C種,再去掉不合條件的,即2名代表全是男生的選法,有C種,故選法共有C-C=24(種)。

五、組排問題——先分組后排列法

不同元素的“排列”問題,有時比較容易混淆,作為排列問題,可以分兩步來完成,先分組后排列,這樣就對排列問題有更加明確的理解。

例5有不同的6本書分別分給甲、乙、丙3人。

(1)如果甲1本,乙2本,丙3本,共有多少種分法?

(2)如果一人1本,一人2本,一人3本,共有多少種分法?

(3)平均分成3堆,每堆2本,共有多少種分法?

(4)如果每人2本,共有多少種分法?

解析：(1)先對6本書進行分組,分成1本、2本、3本的三組,共有C×C×C=60(種)分法,再發給甲、乙、丙3人,只有1種分法,所以共有C×C×C=60(種)分法滿足題意。

(2)先對6本書進行分組,分成1本、2本、3本的三組,共有C×C×C=60(種)分法,再發放給甲、乙、丙3人,有A種發放方式,所以共有C×C×C×A=60×6=360(種)分法。

(3)此題涉及不同元素的均分問題,例如把不同的2個元素,分成無明顯標志的兩堆,只有一種分法,即

(4)把6本不同的書均分給甲、乙、丙3人,先對6本不同的書平均分成三組,有種分法,然后發放給甲、乙、丙3人,有種分法,所以共有90(種)不同的分法。

例6把6個不同的小球放在編號為a,b,c的3個盒子里,要求每個盒子都不空,共有多少種不同的方法?

解析：此題可以看成是把6個小球分配到a,b,c3個盒子的分配問題,可以分兩步來解決,先分組后發放。先把6個不同的小球分成三組,分組的方式有：①按個數1,2,3分組,有C×C×C種方法;②按個數2,2,2分組,有種方法;③按個數1,1,4分組,有種方法。然后放置在標號為a,b,c的3個盒子里,有A種方法。所以,共有540(種)不同的方法;

點評：對于不同元素的分配問題,可以利用分步計數原理,看成有兩步才能完成,第一步是分組,第二步是發放。這樣對排列組合中的分配問題就更加明確、更加容易理解,但在分組時,對于整體均分問題或內部均分問題,要注意它們的區別與聯系。

六、相同元素的“分配”問題——隔板法

例7有10個三好學生名額,分配到高三年級的6個班,每班至少1個名額,共有多少種不同的分配方案?

解析：10個三好學生名額,可以看成是相同元素,分配到高三年級的6個班,其實是相同元素的分配問題,常用的方法是采用“隔板法”。6個班分10個名額,將10個名額并成一排,名額之間有9個空隙,將5個隔板插入9個空隙中,則每種插法對應一種方案,共有C=126(種)不同的分配方案。

練一練：

1.4個不同的小球放入4個不同的盒中,且恰有1個空盒的放法有多少種?

2.7個人站隊排成一排,其中甲不能站排頭,也不能站排尾,有多少種排法?

3.從集合{O,P,Q,R,S}與{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2個元素排成一排(字母與數字均不能重復),每排中字母O、Q和數字0至多只出現1個,則不同排法有多少種?

4.從五棱柱的10個頂點中選出5個頂點,最多可形成多少個不同的四棱錐?

參考答案：

1.144 。

3.8424。

4.170。