配方法

北京市中學數學特級教師，現任教于北京市第十二中學;教育部課程改革“全國先進工作者”，教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關數學課堂教學、班級管理、教師專業成長等專題報告多場;在《教育研究》《中國教育學刊》《數學教育學報》《數學通報》等學術期刊上發表論文500余篇，其中100余篇被中國人民大學復印報刊資料《中學數學教與學》《中小學教育》全文轉載;已出版個人專著《高中數學思想方法及應用》《高考數學命題規律與教學策略》《讓高中生學會學習》《高慧明數學教學實踐與研究》（叢書）等多部，應邀主編、參編教材和教學著作30余部。

高慧明

配方法是對數學式子進行定向變形（配成“完全平方”），通過恰當的配湊，使問題明了化、簡單化的解決數學計算問題的方法，是初中、高中數學教學中比較常用且重點的方法之一。

配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式[（a+b） 2]=[a2+2ab+b2]。靈活運用這個公式，可得到各種基本配方形式，例如：[a2+][b2]=[（a+b） 2]-[2ab]=[（a-b） 2][+2ab];[a2]+[ab][+b2]=[（a+b） 2]-[ab]=[（a-b） 2][+3ab]=[（a+b2） 2]+[（32b） 2];[a2]+[b2]+[c2]+[ab]+[bc]+[ca]=[12][（a+b） 2+（b+c） 2+（c+a） 2];[a2]+[b2]+[c2]=[（a+b+c） 2]-2（[ab]+[bc]+[ca]）=[（a+b-c） 2]-2（[ab]-[bc]-[ca]）=……以及[a3]+[b3]+[c3-][3abc=]（[a+b+]c）[12][（a-b） 2+（b-c） 2+（c-a） 2]等。

結合其他數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，例如1+sin2α=1+2sinαcosα=（sinα+cosα），[x2]+[1x2]=（[x]+[1x]）-2=（[x]-[1x]）+2，以及解析幾何中的韋達定理和弦長公式等。

配方法在解決分解因式、化簡求值、確定代數式的最值、證明等式、解方程有關問題、解決二次函數有關問題、解決與解析幾何有關的問題時有著廣泛的應用。

如：已知長方體的全面積為11，12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為 ??????????????。

A.2[3] ???B.[14] ????C.5 ???D.6

這是一道用配方法化簡求值的題目。解決的關鍵是將兩個已知和一個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發現使用配方法將三個數學式進行聯系，即聯系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。具體而言，就是先將所給的題設和所求都轉換為數學表達式，將其配湊成兩個已知式的組合形式，然后設長方體的長寬高分別為[x]，[y]，[z]，由已知“長方體的全面積為11，12條棱的長度之和為24”而得：

[2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24]

長方體所求對角線長為[ x2 ?+ ?y2 ?+ ?z 2 ?]= ??[（x+y+z） 2-2（xy+yz+xz）]=[62-11]=5，所以選B。

再如：已知拋物線[y2]=[2px]（[p>0）]，過動點[M（a，0）]且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點[A]、[B]，[AB]≤[2p]。⑴ 求[a]的取值范圍;⑵ 若線段[AB]的垂直平分線交[x]軸于點[N]，求△[NAB]面積的最大值。

這是一道與解析幾何有關的問題。直線和圓錐曲線位置的研究一般使用 “設而不解，整體思維”的方法，弦長公式只有用配方法，才能用韋達定理整體處理。依據題意，巧設直線[AB]所在的方程為 [y]=[x-a]與[y2=2px（p>0）]聯立化簡，有[x2]-2（[a+p）][x]+[a2]=0。由直線與該拋物線交于不同的兩點[A、B]，則[4（a+p） 2]-[4a2][>0]，解得[a>-p2]。設[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，用配方法和點在直線上表示弦長[AB = 2（x1，x2） 2-4x1x2 ?= 2（2a+2p）2-8a2]=[8p（2a+p）≤2p。]因為[4ap+2p2≤p2]，[4ap≤-p2]，所以[p>0];因為[a≤-p4]，則AB的垂直平分線為[y-][y1+y22]=[-（x-a-p）]，即[y-p=-（x-a-p）]。令[y=0]，[x=a+2p]， 則[N（a+2p ，0）]，[△NAB]的高[h=][a+2p-a2=2p2=][2p=2p，]則[S△NAB=128p（2a+p）2p=2pp][2a+p=2p2ap+p2，]而[a≤-p2]。由一次函數的單調性可知，[a=-p2]時，[△NAB]最大值為[2pp2-p22=2p2]。

值得指出的是，配方法的配方形式靈活多樣，應用時要對問題進行認真分析，合理地恒等變形可使問題化難為易。

責任編輯 ?姜楚華