初中數(shù)學一次函數(shù)教學的實踐與反思

許文禮

（廈門市新店中學，福建 廈門 361102）

縱觀2018年福建省中考數(shù)學試卷，無論是A卷還是B卷的最后一題均為函數(shù)綜合題（占14分）。事實上，函數(shù)知識的命題始終關(guān)注數(shù)形關(guān)系，著重考查函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，關(guān)注變量間的依存關(guān)系，關(guān)注利用代數(shù)方法研究幾何問題，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想。

一、一次函數(shù)教學中存在問題

（一）對一次函數(shù)、正比例函數(shù)的定義理解不完整、不透徹

理解一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念，重要的是抓住其本質(zhì)屬性，掌握這兩個解析式的特點以及區(qū)別與聯(lián)系，特別要注意常數(shù)和自變量并不局限于用單獨的一個字母（k和x）表示，也可以是一個代數(shù)式。可通過多舉典型例題和配套練習，強化訓練，深化理解和記憶。這樣，就可以避免學生狹義地認識一次函數(shù)、正比例函數(shù)的定義，最終達到認識上得到升華，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力。

例如，已知y與x-2成正比例，當x=3是，y=1。求該函數(shù)的解析式。對于這個題目，許多學生往往感到束手無策，不知道從哪里入手，無法找到解決問題的突破口。顯然，這是學生對一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念理解不深不透，癥結(jié)在學生經(jīng)常用定向思維考慮問題，死記硬背正比例函數(shù)定義，只機械認定自變量是x。因此，當本題出現(xiàn)了自變量不是x、而是x-2時，學生不懂得把x-2看作自變量，不能靈活地把x-2理解成為定義中的x。于是便出現(xiàn)解題困惑，甚至感到“一頭霧水”，難點就是不會將題目中數(shù)學符號抽象化。

（二）對一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像作圖不熟練、不準確

列表描點法是初中函數(shù)作圖中最基本的，也是最簡單的作圖方法。列表描點法作圖關(guān)鍵抓住六個字“列表、描點、連線”。由于一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像就是一條簡單的直線，所以只需要找到任意兩個不同的點，連接這兩點便可以得到函數(shù)圖像。實際上，我們經(jīng)常選擇比較容易作圖的兩個不同的點，如選擇直線與x軸、y軸的交點，并過這兩點作直線即可。但是，對初中學生而言，作圖往往是他們學習的薄弱點，怕麻煩懶于動筆，不想作圖，害怕作圖，缺乏嚴謹認真的學習態(tài)度，作圖馬虎應(yīng)付。由于平時訓練不夠，導致作圖不熟練、不準確，以致作出不規(guī)范、不正確的圖像，直接影響解題思路和最后結(jié)果。如在列出表格之后，往往不懂得取哪些值，畫平面直角坐標系速度慢，描出相應(yīng)的點的位置也不夠準確，最后連線也不夠規(guī)范，甚至將所求作的直線呈現(xiàn)成為線段、射線等。

（三）對一次函數(shù)、正比例函數(shù)性質(zhì)的逆向應(yīng)用不適應(yīng)、不熟悉

應(yīng)該知道，一次函數(shù)、正比例函數(shù)的性質(zhì)既可正向運用，也可逆向運用。例如：在一次函數(shù)y=kx+b中，當k＞0時，函數(shù)值 y 隨 x的增大而增大。反之，若函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大，則k＞0也成立。學生對于正向運用比較習慣，比較適應(yīng)。但是，當遇到題目是函數(shù)性質(zhì)的逆向運用時，學生往往是找不到思路，甚至感到大腦“一片空白”。如已知一次函數(shù)y=（1-2m）x+m-1 , 當m為何值時，函數(shù)值 y隨x的增大而增大。其實，由函數(shù)值y隨x的增大而增大，即圖像從左到右呈上升趨勢，可知：1-2m＞0，問題便迎刃而解了。

（四）對一次函數(shù)的應(yīng)用不會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型、不會列函數(shù)解析式解決實際問題

以八年級數(shù)學（下冊）教材P95練習第2小題為例加以說明。應(yīng)該知道，找出本題中的數(shù)量關(guān)系是求解此題的關(guān)鍵。許多學生寫不出函數(shù)解析式，究其原因：一是未能審題理解題意，弄不清楚數(shù)量關(guān)系；二是不會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，不會將具體的數(shù)量關(guān)系“翻譯”成數(shù)學代數(shù)式。教學中，要通過實例反復滲透轉(zhuǎn)化思想，引導學生認識到實際的數(shù)量可以和數(shù)學符號互相轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學生學會熟練用字母及含有字母的式子表示實際的數(shù)量。比如在 2：00—4：00時間段內(nèi)，隨時間增加升高的溫度與20+5（t-2）的轉(zhuǎn)換。這說明學生缺乏用數(shù)學符號抽象概括實際問題的能力。在求出函數(shù)解析式后，不難得到符合題意的一次函數(shù)圖象是：以點（2，20）和點（4，30）為端點的一條線段。

二、一次函數(shù)的教學策略

（一）弄清一次函數(shù)的概念內(nèi)涵和外延，巧妙利用定義特性解題

例1 已知函數(shù)y=（k-1）xk2+k,當k為何值時，它是一次函數(shù)？

［簡析］：本例根據(jù)一次函數(shù)的定義解題時，除了考慮自變量的次數(shù)應(yīng)為一次即滿足k2=1外，還應(yīng)該注意定義中的k已經(jīng)變成k-1，故還應(yīng)滿足k-1≠0即k≠1的條件，而不是機械記憶定義中的k≠0，考慮問題應(yīng)全面。

（二）掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，靈活運用數(shù)形結(jié)合解題

一次函數(shù)的教學一定要把一次函數(shù)的定義、性質(zhì)與圖象緊密地結(jié)合起來，滲透到教學過程中去，讓學生能做到心中有“數(shù)”，腦中有“形”。完全可以這樣說：當我們看到一個一次函數(shù)解析式時，腦海里能夠立刻想象出這個函數(shù)的示意圖，并能夠知道這個函數(shù)的簡單性質(zhì)；當我們看到平面直角坐標系中的一條直線時，能夠迅速回想起這條直線所代表的函數(shù)的基本性質(zhì)，并善于捕捉圖中所給出的“信息”，求出這個函數(shù)解析式。

例2 已知兩條直線的函數(shù)解析式分別為y=2x+4與y=-2x+4，試求它們的交點坐標。

［代數(shù)方法簡析］：本例仔細審題不難發(fā)現(xiàn)：由直線交點的幾何意義可以知道，交點坐標應(yīng)同時滿足這兩個函數(shù)解析式，這與方程組的解應(yīng)同時滿足兩個方程的意義類似，不難求出這兩條直線的交點坐標應(yīng)該為（0，4）。

［幾何方法簡析］：本例求兩條直線的交點坐標看似一道幾何問題，可以通過畫出圖象再來尋找它們的交點坐標。但是需要注意涉及作圖解題過程比較麻煩，而且一旦畫出的圖象不夠準確，就難以得到正確的結(jié)果。因此，一定要讓學生熟練掌握作函數(shù)圖像的方法步驟，養(yǎng)成嚴謹細致的學習習慣。

例3 一次函數(shù)y=kx+k2+1的圖象可能是（ ）

［簡析］：因為一次函數(shù) y=kx+k2+1 ，k2+1＞0，故這個一次函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過原點，故可排除D選項。又因為一次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標為（0，k2+1) ，顯然該交點在y軸的正半軸上，所以，故可排除A、B選項，所有選項中滿足要求的只有C選項。這里主要是要通過前面所學的一些數(shù)學知識來判斷一次函數(shù)圖象的位置，從而歸納出函數(shù)的圖象特征，得出正確的答案。

［點撥］：由于正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，所以正比例函數(shù)具有一次函數(shù)的所有性質(zhì)。掌握正比例函數(shù)與一次函數(shù)的知識，一定要始終結(jié)合圖像來領(lǐng)悟，重點抓住“函數(shù)的定義”“ 函數(shù)的圖像所在位置”和“函數(shù)的增減性”三個要點來學習。

建議設(shè)計表格進行比較、類比、歸納，理清正比例函數(shù)、一次函數(shù)的定義、圖像及其性質(zhì)，注意強調(diào)數(shù)形結(jié)合。

（三）聯(lián)系實際生產(chǎn)與生活，綜合應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題

在解一次函數(shù)應(yīng)用問題時，一定要借助數(shù)形結(jié)合來尋找解題思路，并把它作為突破口和切入點。通過對數(shù)形結(jié)合的探究，應(yīng)用函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)，最終實現(xiàn)復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，思考解決有關(guān)問題。

1.應(yīng)用以數(shù)解形化解圖像問題

例4 關(guān)于x的一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18，分別求k的值，使得：

（1）函數(shù)圖象經(jīng)過原點；

（2）函數(shù)圖象平行于直線y=-x。

［解析］：由于y=（3-k）x-2k+18是一個關(guān)于x的一次函數(shù)，所以這個函數(shù)的圖象是一條直線。

（1）若要使函數(shù)圖象經(jīng)過原點即過點（0，0），則必須有0=（3-k）×0-2k+18 ，解得k=9。

（2）若要使函數(shù)圖象平行于直線y=-x，則需兩個函數(shù)解析式中自變量的系數(shù)相等，且常數(shù)項不相等，即（3-k）=-1且-2k+18≠0，于是可解得k=4。

［點撥］：在以數(shù)解形的實際應(yīng)用中，其解題思路是從“數(shù)”到“形”，應(yīng)注意根據(jù)已知條件，確定函數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)圖像及性質(zhì)解決問題。要應(yīng)用以數(shù)解形解題，首先要熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；其次要緊密結(jié)合“數(shù)”與“形”具體問題具體分析。只有真正深入了解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，才能不斷提高解決問題的時效性。

2.借助以形助數(shù)解決實際問題

例5 某地長途汽車客運公司規(guī)定，旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定質(zhì)量，則需要購買行李票，行李票費用y（元）是行李重量x（千克）的一次函數(shù)，根據(jù)圖象回答下列問題：

求（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）旅客最多可免費攜帶多少千克行李？

［解析］（1）根據(jù)函數(shù)圖象的信息可知，它是一個一次函數(shù)的圖象，即設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b（k ≠ 0）.因 為 點（60，6），（80，10）在函數(shù)圖象上，所以利用待定系數(shù)法求出k、b即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，免費攜帶行李即意味著行李費用y=0時，相應(yīng)的x的取值即為攜帶的行李重量，因此，結(jié)合題（1）所求出的函數(shù)關(guān)系式，則容易解決第（2）題的疑問。

［點撥］在以形助數(shù)的實際應(yīng)用中，其解題思路是從“形”到“數(shù)”，應(yīng)注意觀察圖形的形狀特征，充分挖掘圖形中隱含的已知條件，確定函數(shù)的關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

誠然，數(shù)形結(jié)合思想滲透不是一朝一夕的事情，絕不可能一蹴而就，需要長期積累并強化這一重要數(shù)學思想方法。這就要求廣大數(shù)學教師在教學實踐中給予足夠的重視，遵循教育規(guī)律，循序漸進，持之以恒，心中有“數(shù)”，腦中有“形”。