新課標下函數模型應用實例課的建構與思考

林 豐

（福州第二中學，福建 福州 350001）

函數是刻畫日常生活規律的一個重要模型，指數函數、對數函數、分段函數等在實際中都有廣泛的應用體現。人教版普通高中課程標準實驗教科書必修1中特別安排了“函數模型應用實例”等章節，讓學生體驗簡單的數學建模過程，也是對后續教學內容的一個鋪墊。

一、 當前函數模型教學的內生困境

（一）教學內容的定位：高考不能使用計算器，而這一章節的內容則幾乎全部都要使用計算器。如果僅因為高考不考就不教這一章，勢必會影響到學生知識體系的完整性。所以問題的關鍵在于怎么教，教學的重點應放在哪里。

（二）教材內容的編寫：在集備的過程中發現課文在建模過程中的某些關鍵步驟講解不甚詳盡，比如選取函數模型與選取合適數據求解模型，課文中只用了“可以考慮”“如果”這樣的字眼，這就需要教師在課堂教學中幫助學生攻克這些疑點。

（三）教學方式的選擇：數學建模涉及多方面的問題，比如數學建模問題的選擇、數學建模過程中的合作學習、信息技術的使用等等。如果在這一節的教學過程中只是簡單地采用“教授式”，勢必會弱化教學內容的探究效能，就算能使學生掌握基本的建模流程，但對為什么要這樣操作，如何把數學知識與實際問題以及信息技術有效的使用建立起聯系并不一定能夠理解，那就更談不上運用數學的知識、思想方法解決實際問題。

二、 函數建模的思路構建

針對以上問題，教學中，首先應嘗試用貼近真實的生活情節，以“問題鏈”的形式組織教學，營造問題情境，以問題建立教學的主題，幫助學生在探究問題的過程中，把新知識自然地納入原認知結構中。其次，在教學過程中要充分利用信息技術，特別是Excel強大的公式、函數與圖表功能，避開繁雜耗時的計算與繪圖，而把重點放在數學思想方法的滲透中，讓學生在問題的探究過程中學習如何利用信息技術高效地分析數據，選擇并建立函數模型，力求更為有效突破地函數模型的選取與求解這兩個難點，讓學生對數學知識的運用不僅“知其然”還能“知其所以然”。

（一）設置問題情境

問題1 某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如表1：

表1

（1）根據上表提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區未成年男性體重ykg與身高xcm的函數關系？試寫出這個函數模型的解析式。

（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

問題2 1990～2000年的國內生產總值如表2所示：

表2

你能根據這些數據預測2004年的國內生產總值嗎?

問題3 18世紀70年代，德國科學家提丟斯（ Johannes Titius 1729～1796）發現行星到太陽的距離遵循一定的規律。金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均距離（天文單位）如表3：

表3

你能發現其中的規律并完成這個表格嗎？

設計意圖：以上問題的設計，只有問題1是教材中的一個例題，問題2取自教材中的課后練習，共同的特點是數據都是以表格的方式呈現，但是各自的側重點不同。針對整個數學建模流程“收集數據—＞畫散點圖—＞選取函數模型—＞求解函數模型—＞檢驗—＞解決實際問題”，問題1側重點在于熟悉數學建模流程，著重解決求解函數模型過程中的數據選取問題；問題2則更側重于解決“選取函數模型”這一過程中的問題，同時由于題材與經濟生活密切相關，也可以向學生打開拓展的窗口，讓有興趣的學生有繼續探究的空間；問題3則是對前面所學進行鞏固復習，并總結出實施步驟的流程圖，同時也可以真切地體驗到數學對于科學發現所起到的作用。

（二）選取函數模型

先讓學生回顧已學的所有函數模型，包括一次函數、二次函數，指數函數、對數函數、冪函數等，而后通過用Excel畫出散點圖，由散點圖判斷出應使用的函數模型。

在利用Excel圖表功能對散點圖連線時，用右鍵點擊數據點，選擇“添加趨勢線”。這時“趨勢預測/回歸分析類型”中有六個可選項，分別是：線性、對數、多項式、乘冪、指數和移動平均。問題1中使用指數型是顯而易見，并且很容易從Excel圖象中得到驗證。但是問題2的函數模型選擇卻是較難確定。為此筆者充分發揮Excel的作圖功能，讓學生自主探究選擇函數模型。學生發現“多項式”作出的圖形最為吻合，并且選擇的階數越高，圖象擬合度越好。此時，就可以引導學生分析這種現象背后的原因：多項式階數越高，求解所需要的數據也越多，算出來的函數模型也越精確復雜。數學模型的高精確度常常伴隨著高復雜度，條件多考慮全面未必就會得到好的模型，有時甚至會造成所列方程的不可解。因此，模型的選擇必需在精確與簡潔之間作出權衡。這時筆者問學生，在精度要求并不高的時候問題2可以采用何種模型，很多學生都大膽地選擇了一次函數模型，他們給的理由是一次函數模型最為簡單，并且誤差也在可以接受的泛圍之內，這點在他們做物理實驗數據分析時已經有過經驗。能得到這樣的回答，說明學生對“收集數據—＞畫散點圖—＞選取函數模型”這一流程的理解已經不僅僅停留在按部就班的層面上，而是能夠理解其中所蘊含的數學建模的思想方法，“選取函數模型”這個難點也就實現了有效的突破。通過上述自主探究與師生合作分析的過程，學生不僅知道了如何利用信息技術更為高效地進行數據處理，選擇函數模型，同時也從一個新的角度重新認識了之前所學的函數與方程的相關知識，充分體會到數學的應用價值。

（三）求解函數模型

在問題1中設置思考：“若選取不同的數據求解將會得到不同的函數模型。那么應該如何選取合適的數據呢?”利用Excel的計算與圖形功能，設計了如下的一個頁面（如圖1）：

圖1

在“選取編號”欄下用微調鍵選取2組數據,下方即可自動求出函數模型，右側則自動繪出函數曲線。隨著選取數據的不同，可以很明顯地觀察到曲線與樣本數據點的偏離情況，從而選取合適的數據，這樣既有效地突破了又一個難點，同時又節省了大量運算與繪圖的時間，充分體現了信息技術的特點與優勢。

對于為什么數據選取不當會產生較嚴重的偏差，則可以結合函數曲線的變化趨勢與人在不同年齡段生長速度不同加以解釋。如果選取的數據過于集中在某一年齡段，則模型體現出的增長趨勢就缺少代表性，不能體現全部樣本的特點，更談不上預測趨勢了。學生由此可以體會到，在求解函數模型的過程中，選取數據要有代表性，否則將影響函數模型的準確性。

值得注意的是Excel本身就帶有趨勢線的“顯示公式”選項，它可以根據統計學求解并顯示出函數模型，這在教學與學生探究的過程中可以起到驗證的作用。同時對Excel菜單中 “線性”“回歸”等這些統計詞匯的簡單解釋也為后續必修3中的相關教學內容作好一定鋪墊。

（四）驗證及推廣

在問題1按照課本內容結束最后一問后，筆者又利用VBA語言編制了一個小程序，只需輸入身高與體重的相應值,即可根據已有函數模型判斷該男生的體重在此地區是否正常。讓學生充分感受數學知識與信息技術結合的巨大功用，享受函數模型應用帶來的樂趣與成就感。

在課堂上，筆者還為一些開放性問題提供了背景資料與網絡資源，比如：“人口模型的演變過程、我國GDP數據的變化趨勢？真實值與預測值之間的誤差大嗎？為什么會有誤差?應如何減小誤差？哪些因素會影響GDP，數學模型能否體現這些影響因素？應用數學模型解決實際問題有哪些優點與不足？數學模型在日常的學習與生活中還有哪些應用?天文學上的提丟斯定律是怎么發現的”……于此，讓有興趣的同學在課外能夠進一步了解與探究，以避免在必修階段就對全體學生提出過高要求，力求做到讓“不同的人學不同的數學”。

三、函數模型與信息技術應用結合注意點

信息技術對課堂教學的支持與輔助只是起到一種載體作用，它裝載的是應用數學解決問題的思想方法。教師不能強求它在課堂里從頭到尾唱主角，而應當在一些必要的“點”上落實信息技術的優勢，比如教學過程中的“疑點”“難點”都可以利用信息技術進行試驗，新舊知識的“交匯點”可以利用信息技術進行展示，教學內容中的“開放點”可以用信息技術構筑平臺提供資源。信息技術應用在“點”上，有選擇地應用，避免出現放映幻燈片的注入式教學。對于該節課的信息技術應用，筆者認為實施平臺還有所欠缺，如果能夠在網絡環境下進行本堂課的教學，學生每人都能在自己的計算機上進行操作實驗，課前課后能在系統中布置相應的學習任務，那么在探究活動中就能夠給學生更大的自主學習空間，讓學生更為完整地親歷認知過程，同時也能更好地利用數學建模這一新的數學學習方式，發展學生的創新意識與實踐能力，激發學生的學習興趣，實踐新課程以學生為主體的教學理念。