高中數學抽象素養的提升策略

馮 青 黃儀平

（建甌市第二中學，福建 南平 353100）

數學抽象就是排除事物的所有物理特性，從而得到數學研究對象的思維過程。它包括從數與數的關系、圖與圖的關系中抽象出數學概念以及概念間的相互關系，從事物具體背景中抽象出一般的規律和結構，運用數學符號或者數學術語給以表征。簡言之，數學抽象就是從現實世界進入數學內部，使學生學會用數學的眼光看問題。［1］

《普通高中數學課程標準（2017年版）》把數學抽象作為數學核心素養的第一要素，提升了數學抽象的價值和地位。加強數學抽象的培養，有利于形成一般性思考問題的習慣，有利于理性理解數學概念、命題、結構和系統，有利于領會相關學科的本質特征。所以，教師要善于引導和訓練學生數學抽象，促使思維發展，達成數學抽象素養。

一、構建直觀圖形，啟發數學抽象

發現真理和認識真理，往往是從生動的直觀到抽象的思維，再由抽象的思維到實踐的過程。在數學教學中，要盡量借助圖形的直觀作用，引起學生豐富的聯想，促進形象思維和邏輯思維的有效結合，變抽象為直觀、化復雜為簡單，達到快捷探求問題答案和本質的目的。

例如，在教學“終邊相同角的表示”時，首先讓學生探究給定一條射線為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關系？然后教師借助幾何畫板畫圖，認真觀察幾個與-30°終邊相同的角之間的數量關系，再進行運算發現這些角的共同特征，得到終邊與-30°角相同的角的表達式；最后再將-30°推廣到一般角α。這里通過由特殊到一般的弱抽象過程，不斷啟發學生形成抽象思維。［2］

二、構建動態演示，引導數學抽象

動態演示就是將數學知識及方法用教具和多媒體進行動態展示，形成具體形象的感性認識，從而領會知識和方法。動態演示能有效地化抽象為具體、創枯燥為有趣、變死板為靈動，促進學生易學、會學、樂學。特別是多媒體的動畫效果能展現許多復雜的數學動態過程，再現知識的形成發展過程，使教學中較為抽象、難懂的知識變成容易理解和掌握，是傳統教學手段所無法獲得的。［3］教學過程中，我們要善于利用動態演示，引導學生形成直觀感知，并逐步達成數學抽象。

例如，在導數的概念教學中，可先用幾何畫板演示函數圖象上兩點的割線及斜率（變化率），再將割線的兩個交點逐漸趨向一點，最后成為曲線的切線，學生在動態演示中直觀體會平均變化率與瞬時變化率的關系。接著，教師再通過具體實例的平均速度抽象出瞬時速度，從而抽象出導數概念，順利地完成模式建構形式化抽象過程，自然引導學生形成數學抽象。

三、構建實踐情境，滲透數學抽象

實踐情境是在課堂上營造出可供學生動手操作的學習情境，讓學生在學習間接經驗時能夠將理論聯系實踐并應用于實踐。在教學過程中適時讓學生實踐操作，不僅能有效地解決數學知識的抽象性與學生思維形象性的矛盾，也能對激發學生的學習興趣、提高學生的動手能力、完善學生的數學思維有著積極的意義。教師要巧妙利用學生“好玩、好動、好奇”的心理，引導學生認真進行實踐操作，把抽象的數學知識變成活靈活現的生活情境，從而抽象出數學概念和結論，將數學抽象素養滲透到學生的頭腦里。［4］

例如，在橢圓的概念教學中，教師先提出問題：初中我們已經知道到一個定點的距離為定值的點的軌跡是圓，那么到兩個定點的距離之和為定值的點的軌跡又是什么呢？然后把準備好的一段繩子發到每一桌，讓同桌中一個同學將繩子的兩端固定在紙上的兩個定點處，另一個同學用筆尖將繩子拉直，使筆尖在紙上慢慢轉動，觀察最后能畫出什么樣的圖形。我們發現有的同學能迅速畫出橢圓，還有部分同學不會畫。教師此時可適當引導，讓他們思考、討論、分析畫不出橢圓的原因。最后同學們一致認為只有當繩子的長度大于兩定點間的距離的時候才能畫出橢圓。接著，讓學生總結橢圓上的點有什么特征？它是如何形成的？在此形成過程中哪些量是不變的？學生在實踐操作的基礎上容易抽象概括出橢圓的定義：即平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫作橢圓。學生在動手實踐中抽象數學本質的能力得到增強。

四、構建生活背景，形成數學抽象

生活背景是指構建一個大多數學生所處的生活環境，使學生能身臨其境地思考生活中所蘊含的數學問題，并用數學知識與方法分析解決問題。數學來源于生活，數學又高于生活，數學和生活是無法分離的。［5］在教學過程中，要從學生的生活經驗出發，精心設計學生感興趣的生活素材，以喜聞樂見的形式展示給學生，才能更好地啟發學生抽象出數學知識。

例如，在三角函數圖像與性質的教學中，可選擇波浪、潮汐、四季變化等生活實例，使學生感受生活中的周期現象，體會三角函數是刻畫周期現象的重要模型，從而抽象出周期的概念。

五、構建自主探究，促進數學抽象

自主探究是指學生在學習情境中獨立觀察、閱讀，發現數學問題，自行用數學知識和方法進行解釋，獲得答案的過程。在教學過程中，教師應針對教學內容，適當地開展自主探究學習，讓學生體驗數學研究的思維過程，有利于促進數學抽象。

例如，在函數的單調性的教學中，可讓學生嘗試探究函數單調性定義的產生過程。

問題1 用描點法畫出下列函數的草圖，說明函數y隨x的增大而怎樣變化？

教師巡視、提問，學生動手、討論。

問題2 如何根據“數”的變化，對“函數值y隨x的增大而增大（或減小）”的特征給予定量刻畫呢？

問題3 函數y=x2在［0，+∞）上是增函數，你能用一些具體數據進行說明嗎？（見圖1）

圖1

生：當x=0時，y=0；當x=1時，y=1；當x=3時，y=9……

師：這樣的數據能列得完嗎？有什么辦法能解決這個問題？

學生先思考、討論，再嘗試定義，最后形成概念。

通過設置三個問題和教師的引導，讓學生對概念作出形式化的定義。

學生通過獨立的探究、同伴的交流，理解、明晰了概念的產生過程，抽象出函數單調性的嚴格化定義。

六、構建小組討論，完善數學抽象

小組討論是把班級學生劃分為若干個小組（最好是相鄰同學組合），將課堂上難以獨立完成的問題交給小組進行交流、討論，形成較為完整統一的結論。小組討論不僅能推動學生學習力和團隊合作力的提升，而且能逐步完善數學抽象，達到增強素養的目的。因此，教師要積極開展小組討論，使課堂教學變得更加鮮活、有效。

例如，在函數 y=Asin（wx+φ）（A＞0，（w＞0）的圖象教學中，教師可給出問題組：

問題1 y=sin（x+1）與y=sinx的圖象有什么關系？

問題2 y=3sinx與y=sinx的圖象有什么關系？

問題3 y=sin2x與y=sinx的圖象有什么關系？

問題4 y=sin（2x+1）與y=sin2x的圖象有什么關系？

教師要求學生按照原定的小組進行討論，再由各小組上臺匯報，教師適當地進行點評、鼓勵。接著，教師用幾何畫板進行動態演示，驗證結論，從而抽象出函數的各種變換法則。小組討論能讓學生充分交流不同的思路與看法，減少個體存在的思維局限，形成科學的思維素養，逐步完善數學抽象。

總之，在教學過程中，教師要根據教學內容和目標，合理地構建各種活動情境，使學生在教學情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的學習經驗，領會事物的本質，從而理解數學概念和法則、建構數學命題和模型、掌握數學思想與方法、明確數學結構與體系，循序漸進地提升數學抽象素養。