高三數(shù)學復習解題突破口尋找探究

連麗萍

（福州華僑中學，福建 福州 350004）

美國著名的心理學家威廉·詹姆斯曾說過：解題是最突出的一類特殊的自由思維。而數(shù)學解題是學習數(shù)學過程中的重難點。在高三數(shù)學復習中，大多數(shù)學生存在這樣的一種困惑，教師很賣力地上課，學生很認真地聽課，也勤奮地做了大量的題目，似乎也聽懂看懂了解答，可是等到自己動筆做題時頭腦就一片空白了，無從下手。為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢？因為很多學生在學習數(shù)學上是比較被動的，被灌輸題目，被灌輸詳細解答，每天看似做了很多題目，卻沒有主動思考，沒有總結，自然就沒有深刻領悟一道題乃至一類題型的精髓。因此，高中數(shù)學教師一定要堅決將題海戰(zhàn)術舍棄，選擇精煉且具備思維價值的習題來促進學生大腦潛能的開發(fā)［1］。學而不思則罔，教師應該引導學生在學習數(shù)學時要勤于思考、善于思考，把一道題做透、想透，那么不需要題海戰(zhàn)術，也能掌握一類題型的解題方法了。

一、理解條件和轉化條件

前蘇聯(lián)數(shù)學家亞諾夫斯卡婭在回答解題意味著什么時說過：“解題——就是意味著把所要解決的問題轉化為已經(jīng)解過的問題。”轉化是數(shù)學解題的一種重要的思維方法，轉化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想，數(shù)學解題的轉化，即把復雜問題轉化為簡單問題，把生疏問題轉化為熟悉問題［2］，把抽象問題轉化為具體問題等。因此教師要讓學生熟悉數(shù)學轉化思想，才可以快速地解題。

（一）對數(shù)學式子進行化簡、變形

在解決數(shù)學問題時，常常要對給出的數(shù)學式子進行變形。數(shù)學變形思想是中學數(shù)學解題的一種重要的思想方法，通過變形能使許多看似非常復雜的問題簡單化，從而快速解題。

例1 （ 2016四川， 文18）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且

（I）證明：sinAsinB=sinC；

（II）若b2+c2-a2=bc，求tanB。

解決三角函數(shù)問題常常要對三角函數(shù)式進行靈活的變形，而其變形主要有三個基本方向一是看角、二是看函數(shù)名稱、三是看結構特征。除此之外，在解題的過程中還常常要對基本公式變形后加以應用，有時題目出現(xiàn)基本公式的半成品，有時也需逆用公式。這要求學生們既要熟悉基本公式又要對其變形有所了解。

（二）將已知條件轉化成圖形、表格等

數(shù)學題目有的時候文字較多，或者語言比較抽象難懂，對于題目的理解比較費時費腦時，那么就要引導學生把已知條件利用表格、圖像等進行轉化，讓它更簡潔明了。

表格可以將題目化繁為簡。題目中的一些信息常常需要分析、加工、整理制成表格。表格的使用，能使題目中的各種元素直觀地呈現(xiàn)出來，達到化繁為簡、化難為易的目的。幫助學生快速理解題意。

例2 （2016全國卷1，文16）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元。

【尋找突破口】：這是一道數(shù)學在實際生活中的應用的題目，文字較多，數(shù)據(jù)也多，看題費時，看數(shù)據(jù)容易出錯，因此考慮用表格的形式直觀呈現(xiàn)。再對照表格中的信息列出二元一次不等式組，進行解答。

（三）構造

如果已知條件讓學生們感到陌生，就可以通過轉化成熟悉容易解的問題，達到解決問題的目的。恰當構造輔助元素，把陌生問題轉化為熟悉問題。數(shù)學解題中，構造的形式是多種多樣的，常見的有構造函數(shù)、構造圖形、構造方程、構造坐標系、構造數(shù)學模型，構造等價命題等。

如構造函數(shù)。在解決某些數(shù)學問題時，根據(jù)已知條件，構造新的函數(shù)，把對原函數(shù)的研究轉化為對新函數(shù)的研究，并利用新函數(shù)的性質去解決原函數(shù)的問題。

例3 （ 2016河南焦作二模）已知函數(shù)f(x)=a(x-)-2lnx(a∈R)，g（x）=-若至少存在一個x0∈［1，e］，使得 f（x0）＞ g（x0），則實數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A.［1，+ ∞） B.（1，+ ∞）

C.［0，+ ∞） D.（0，+ ∞）

【尋找突破口】：兩個函數(shù)有相同自變量，則一個x值影響兩個函數(shù)值的變化，不好控制。從兩個值的大小關系就聯(lián)想到他們做差后與0的大小關系，從而把他們的差構造成一個新的函數(shù)。即設F(x)=f(x)-g（x），則F(x)=a(x-)-2lnx+=ax-2lnx＞0在x∈［1，e］有解，即a＞再構造函數(shù)φ（x），通過求導的方法求φ（x）的最小值，從而解決問題。

二、觀察已知條件，套模板

很多數(shù)學題目都有它固有的套路，因此在熟練公式，熟悉題目模式的基礎上套用固定模式即可成功解決問題。

例4 （ 2016山西太原三模）數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n，則的前100項和為( ) .

【尋找突破口】： 由已知條件an+1=a1+an+n聯(lián)想到形如an+1=an+f（n）求{an}通項公式的方法是累加法。由an+1=a1+an+n可得an+1-an=1+n，再對n取值n=1，2，3，…，n-1，并將所得這n-1個等式兩邊相加，抵消去相同的項并化簡計算可得an=，當?shù)玫綍r，再巧妙地將其變形為），運用裂項相消的方法從而使問題獲得解決。

教師要引導學生在做題時善于總結，歸納各種題目的不同方法，在碰到題目時就能及時想到這道題的方法，套用它的常用模式即可快速解題。

三、利用上一小題結論解決下一小題

數(shù)學的大題經(jīng)常包含兩三個小題，每道小題之間通常有著緊密的聯(lián)系，也就是上一小題經(jīng)常可以作為下一小題的結論，為解決下一小題帶來了很大的啟示。

例5 （2016河南洛陽二模）已知函數(shù)f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a ≠ 0，a ∈ R），

（1） 求 f（x）的極值 ；

（2）若對任意x∈［1，+∞），使得f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

【尋找突破口】：尋找解決第（3）小題的突破口。在第（2）小題已經(jīng)解決當a≤-1時，alnx-（a+2）x+x2≥0對x∈［1，+∞）恒成立，第（3）小題又涉及到ln，因此考慮把第（2）小題中的lnx分離出來，得到當a≤-1時，lnx≤x∈［1，+∞）恒成立，從而得到），第（3）小題中有多個相似的式子相加，怎樣化簡式子呢，考慮到（*）式子中需要裂項，在第（3）小題中才能相消，令（*）式子中a=-1，則，從而找到解決問題的方法。

四、從問題入手

數(shù)學具有簡潔美，數(shù)學語言的符號和邏輯讓數(shù)學題目的表述簡潔，但對很多學生來說未必明了。寥寥數(shù)語似乎并沒有透露出很多信息，對著簡單的已知條件，總感覺條件不夠用的時候，可以看看問題。特別在證明題中，要證的結論就會給出很大的提示。

例7 （2016屆山西晉城市高三下學期第二次模擬數(shù)學（文）試卷）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+n-1，且a1=1.

（1）求證：數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的前項n和為Sn.

【尋找突破口】：已知條件透露的信息較少，又是證明題，因此可以考慮從求證入手，把問題當成提示，用分析法的思想，尋找結論成立的充分條件。這題要求證{an+n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義可知只要證= q ，即證 a+n+1=q（a+n），n+1n因此只要在an+1=2an+n-1的兩邊都加上n+1即可。

數(shù)學解題具有很強的靈活性，但也有它的章法可尋，教師在課堂上不僅要注重從題目到解答的引導，還要引導學生反思在解題過程中運用了哪些數(shù)學知識、思想方法、技能技巧，有什么規(guī)律和注意點，以深化學生的思維，達到舉一反三的目的。［3］學生們在上課時要特別注意教師是如何尋找解題突破口的，同時也應該善于思考和勤于總結，這樣才能加快解題速度，提高數(shù)學學習的能力。

高三復習是緊張忙碌的，如何有效地復習，提高復習效率，達到理想的復習效果，這就要求教師們精心備課，認真鉆研教材，注重課堂授課方法和語言技巧，教師們在上課時要運用多種教學方法和手段，引導學生積極主動地學習，掌握數(shù)學的基礎知識和基本技能以及他們所體現(xiàn)的數(shù)學思想方法。