對數帶來的“簡捷”

張居強

16世紀初，當第一張對數表問世后，天文學家兼數學家的拉普拉斯滿腔熱情地稱贊這是一項“使天文學家壽命倍增”的發明，甚至世界知名科學家伽利略還說過：“給我一個空間、時間及對數，我即可創造一個宇宙．”對數及對數函數，同學們學習時常感覺其知識難學，難理解，根本沒有感覺到其能帶來方便的運用，何德何能享有這么高的評價？筆者僅從幾例試題出發，帶領同學們感受、體驗對數及對數函數給我們、給世界帶來的方便．

一、取“對數”——簡化運算

對數的重要功能：能夠簡化運算，通過“取對數”運算，我們可以將乘法運算變成加法運算，除法運算變成減法運算，乘方運算變成倍數運算．因此我們在解題時要提醒自己，需要根據試題結構特點，靈活運用對數及對數函數的性質，實現化繁為簡，縮短思維過程，提高解題效率．

例1設a，b，c都是不等于1的正數，且ab≠1，求證：alogcb=blogca．

解析若直接證明比較困難，若考慮該等式兩邊都是正數且都不等于1，可以對等式兩邊同時取對數，為了計算方便，處理對數問題時要選擇好底數．根據結論我們選擇以“c”為底較好．

因為a，b，c都是不等于1的正數且ab≠1，所以要證等式alogcb=blogca成立，只要證logcalogcb=logcblogca，即logcb·logca=logca·logcb，顯然該式是成立的．

二、用“圖象”——避開運算

對數函數y=logax（a＞0且a≠1）的圖象必經過兩個點（1，0）和（a，1），我們不妨稱之為對數函數的兩個特征點．對數函數y=logax（a＞0且a≠1）的圖象中，直線x=1反映了它的分布特征；而直線y=1與對數函數圖象的交點（a，1）的橫坐標則直觀地反映了對數函數的底數特征．我們可以稱x=1和y=1為對數函數的兩條對數函數特征線．我們在畫圖象時就能把握住圖象的基本特征，利用對數函數的特征點、特征線處理一些問題，形象、直觀，簡單易行．

例2已知a＞0，且a≠1，寫出方程2loga（x2-5x+7）+5ax2-2x-3-5=0的一個解x= ．

分析由試題的結構特點，不能直接求解，易想到用數形結合來求解，難點在于如何把題目的方程轉化為已知函數圖象問題，只要將題目分解成兩個部分，問題就可解決．

解設f（x）=2loga（x2-5x+7），g（x）=5-5ax2-2x-3，根據y=logax（a＞0且a≠1）的圖象的特征知其恒過點（1，0），令x2-5x+7=1得x=2或x=3，所以函數f（x）的圖象恒過點（2，0）和（3，0）．

而g（x）=5-5ax2-2x-3中，令x2-2x-3=0時，即有x=-1或x=3，所以函數g（x）的圖象恒過點（-1，0）和（3，0）．

由上可知，兩函數值都等于0時可得到相同的解x=3．

故方程2loga（x2-5x+7）+5ax2-2x-3-5=0的一個解為x=3．

三、借“情境”——降級運算

對數是隨著天文學中解決龐大數據計算的需要而被發明出來的數學概念，而20世紀50年代中計算機的出現與升級，使得對數特有的將復雜的計算簡單化的必要性已消失，但是因為對數可以把pH值、里氏地震規模、分貝、星的等級等以幾何級別增加的形式簡化成以算術級別增加的形式，從而其仍然被人們所廣泛使用．

例320世紀30年代，查爾斯·里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為：M=lgA-lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際震中距離造成的偏差）．

（1）假設在一次地震中，一個距離震中100km的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0．001，計算這次地震的震級（精確到0．1）；

（2）5級地震給人的振感已比較明顯，計算7．6級地震最大振幅是5級地震最大振幅的多少倍？（精確到1）

分析在解決實際問題的過程中，我們首先需要在實際的情境中去理解、分析所給的一系列數據，舍棄與解題無關的因素，將之轉化為數學模型．而本題中函數模型已確定，處理時只需對問題進行定量分析，套用現成的公式即可把問題解決．

解析（1）M=lgA-lgA0=lg20-=lg20000=lg2+lg104≈4．3．

（2）由M=lgA-lgA0=lg解得A=A0·10M．

當M=7．6時，地震的最大振幅為A=A0·107．6；

當M=5時，地震的最大振幅為A′=A0·105．

即7．6級地震最大振幅是5級地震最大振幅的398倍．