基本量法解決數列問題

江蘇省揚州市新華中學 朱 丹

對待數列問題，我們往往認為只有熟練掌握各類技巧才能駕馭它，似乎用技巧才會節省時間、簡化過程，因此，在平時訓練中，將大量時間花在技巧的發現和訓練上.事實上，更多時候，我們是通過解方程或方程組來解決問題，即用基本量法解決問題.所謂基本量法，就是利用a1，an，d（q），Sn這幾個量的相互關系，通過方程或方程組，在已知部分量或關系的前提下求出其余的量或關系的方法.比較用技巧解題，基本量法好像顯得有點“笨拙”，但方向明確，過程簡單，解題正確率高，可以說，數列題原則上幾乎都可以用基本量法來解決，只要我們有足夠的耐心.下面通過幾個熟悉的例子再來認識一下基本量法及其應用.

例1問：等差數列5，11，17，…，77共有幾項？

有人會說，這簡單，只需將所有項寫出來數一數就行.但如果再給出若干項，“數一數”的代價就大了.還有一種做法是：共有項，問題是為什么這樣做？道理是什么？未必能想明白.看看用基本量法如何解決：設a1=5，an=77，d=6，則因為an=a1+（n-1）d，所以77=5+（n-1）6，得n=13.這樣做的理由很簡單，就是看看首項是5、公差是6的等差數列中，77排第幾項？

從這道題的解法可以看到，基本量法不是沒有內涵的“呆”方法，有時比其他辦法更有效，問題也看得更透.

例2在各項均為正數的等比數列an｛｝中，若a2=1，a8=a6+2a4，則a6的值是____.

這道題命題意圖很清晰：一是考查認識數列的大局觀和整體思想，二是考查等比數列的一個性質：an=am·qn-m，也就是a8=a2·q6，a6=a2·q4，a4=a2·q2.因此可以將a2，a4，a6，a8看成一個新的等比數列的前4項，問題就迎刃而解了.但能想到這點未必很容易，需要你對數列有較深刻的把握，況且在高考考場上有時候容不得我們花太多的時間去想解題的最佳方案.能捉到老鼠的就是好貓，干脆用基本量法：由題意知，a1q=1，a1q7=a1q5+2a1q3，q4=q2+2，得q2=2，因為各項均為正數，所以，所

例3設等差數列an｛｝的前n項和為Sn.已知S12=354，且前12項中偶數項和與奇數項和之比為32∶27，求公差d.

看到這類題，可能有同學認為要用到如下的部分結論：設等差數列an｛｝的前n項和為Sn，若an｛｝共有n=2k（k∈N*）項，則若an｛ ｝共有n=2k-1）項，則.這些結論比較抽象，也不易記住，所以部分同學對解這道題信心不足.如果你試圖用基本量法，你便會覺得很簡單：設首項為a1，則由條件可得解得a1=2，d=5.

例4設m，n，s，t∈N*，且m+n=s+t.若an｛｝是等比數列，試問am·an=as+t成立嗎？若不成立，請說出理由；若成立，試給出成立的條件.

這是一道發散型的探究題，有同學一眼就發現當an=1（n∈N*）時成立.就沒有其他情形嗎？基本量法可以解決這個問題：由am·an=as+t，得a1·qm-1·a1·qn-1=a1·qs+t-1，化簡得a1=q.這下恍然大悟了！原來當等比數列的首項與公比相等時，am·an=as+t.自然，an=1只是大海中的一滴水.

例5設等差數列an｛｝的前n項和為Sn，若S10=100，S100=10，則S110=_______.

解這道題的技巧很多，如：S100-S10=-90，a11+a12+…+a100=-90，45（a11+a100）=-90，a11+a100=-2，所以a1+a110=a11+a100=-2，.用基本量法過程如下，由解

可能多數同學認為前一種更有“靚”點.但我們應該用辯證的眼光來比較優劣.確實，用基本量法的過程繁雜，數字龐大，但算理簡單，思路清晰，在苦思冥想找不到更好所謂“技巧”的情形下，她真的不失為另類的技巧！

近年高考中的數列題，呈兩極分化的布局，當其前置時，一般屬于中（低）檔題，某種意義上說是送分題，因此，只要我們對定義、性質有較全面的認識，基本量法是成本最低、勝算最大的通用方法，往往能一招制勝.而當數列題壓軸時，也必定兼有選拔功能，就不僅僅是對解題方法的考查了，但即便如此，基本量法也大有市場.綜上分析，可以說基本量法是數列解題的當家法寶，同學們趕緊取走吧.