老師，我怎么學(xué)會(huì)思考
——不等式篇

江蘇省蘇州中學(xué) 王思儉

下課鈴聲響起，學(xué)生涌出教室，一會(huì)兒聽到一陣急促的腳步聲，隨之幾位同學(xué)來到老師面前：

老師，利用基本不等式求最值究竟有哪些方法？我們幾位同學(xué)對一個(gè)簡單的不等式問題給出好多種解法，但不知道哪種解法是通性通法，哪種解法最優(yōu)；我們還對這個(gè)簡單問題進(jìn)行推廣；有的是對冪指數(shù)進(jìn)行推廣；有的是對變元個(gè)數(shù)進(jìn)行推廣；我們想請老師一同參與討論并給予指導(dǎo)，老師有時(shí)間嗎？

……

為此我邀請他們就“簡約而非凡——一道不等式最值問題多解探究”進(jìn)行交流，旨在鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)小組討論與交流活動(dòng)，特別強(qiáng)調(diào)他們要自主參與、智力參與、合作參與，培養(yǎng)他們的團(tuán)隊(duì)意識與合作精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理論證、幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教師：請出示你們的簡單問題.

眾生：（單元測驗(yàn)卷第5題）已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，則a2＋b2的最小值為________.

生甲：我是利用消元法和配方法相結(jié)合求解的，因?yàn)閍＋b＝1，因此a2＋b2＝a2＋，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)時(shí)等號成立，所以.

教師：配方法是求二次類型函數(shù)最值的常用方法，許多不等式都是由配方法演變而來的，很實(shí)用！

生乙：我是利用數(shù)形結(jié)合思想求解的，由已知條件知，a＋b＝1，a＞0，b＞0的幾何意義表示直線x＋y＝1夾在第一象限內(nèi)的一部分線段，而a2＋b2的幾何意義表示原點(diǎn)與線段上點(diǎn)（a，b）的距離平方，因此a2＋b2的最小值為原點(diǎn)到線段的距離平方，即.

教師：這種解法實(shí)質(zhì)是構(gòu)造法，體現(xiàn)了幾何直觀，把代數(shù)與幾何進(jìn)行有機(jī)融合，這正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.

生丙：我是利用等號成立的條件求解的，于是，兩式相加得，.因?yàn)閍＋b＝1，所以，即a2＋b2≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.

教師：他的方法很巧妙，實(shí)質(zhì)就是秒殺法，由于他注意到用求最值時(shí)等號成立條件，因此就配湊并構(gòu)造一個(gè)不等式.

生?。豪没静坏仁街苯忧蠼猓伤阈g(shù)平均值不小于二次冪平均值得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.

教師：很好！這個(gè)不等式是由基本不等式演變而成的，做解答題時(shí)，最好要先證明再使用，否則閱卷時(shí)會(huì)扣分.

生甲：由于兩個(gè)正數(shù)和為1（或者定值），我就聯(lián)想到正弦余弦的平方和為1，于是就用三角代換法嘗試.因?yàn)閍＋b＝1，a＞0，b＞0，因此，令a＝sin2θ，b＝cos2θ，于是a2＋b2＝sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2-，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝±1，即，即a＝時(shí)等號成立，所以.

教師：他靈活運(yùn)用三角代換和三角恒等變換以及正弦函數(shù)有界性求出最小值，很好！

生丙：我是逆向運(yùn)用三角代換求解的，設(shè)a2＋b2＝r2（r＞0），于是a＝rcosθ，b＝rsinθ，，所以a＋b＝r（sinθ＋.又因?yàn)棣取?，因此，所以?/p>

教師：他是將a2＋b2視為一個(gè)可變量，于是他聯(lián)想到三角換元法求解，從幾何直觀上看，a2＋b2＝r2（r＞0）是動(dòng)圓面，體現(xiàn)他變與不變、動(dòng)與靜的思辨能力較強(qiáng).

生?。何业南敕ň褪抢脛?dòng)圓的觀點(diǎn)再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解，設(shè)a2＋b2＝r2（r＞0），此方程的幾何意義表示點(diǎn)P（a，b）在以原點(diǎn)為圓心，以r為半徑的動(dòng)圓上，點(diǎn)P（a，b）又滿足a＋b＝1，由直線與圓的位置關(guān)系是有公共點(diǎn)，因此圓心到直線的距離d≤r，即，所以r≥，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.

教師：生丁是利用解析法求解的，充分挖掘已知條件和待求問題的幾何意義，展現(xiàn)了生丁的幾何直觀想象能力.

生戊：我又想到一種方法，構(gòu)造向量法，構(gòu)造向量m＝（a，b），n＝（1，1），兩個(gè)向量夾角為θ，由平面向量數(shù)量積定義得m·n＝，即，可以判斷，將已知條件代入得，而0＜cosθ≤1，于是有，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝0時(shí)等號成立，即m與n同向，此時(shí)且a＋b＝1，解之得.

眾生：你是怎么想到的呢？

生戊：我把a(bǔ)2＋b2看作是一個(gè)向量的模的平方，把a(bǔ)＋b看做兩個(gè)向量的數(shù)量積，于是就構(gòu)造向量進(jìn)行嘗試.

教師：生戊將自己的思考過程進(jìn)行復(fù)盤，大家都應(yīng)該學(xué)會(huì)這種做法.

生己：增量法，由于a＋b＝1，兩個(gè)量的平均值為，因此，我就設(shè)，其中，因此a2＋b2＝，當(dāng)且僅當(dāng)t＝0，即時(shí)等號成立，所以.

教師：很好！剛才他講出思考的過程，這就是會(huì)思考問題，也是大家要學(xué)會(huì)怎樣思考問題.

生己：我的這種方法對于高次的也適應(yīng)，我已經(jīng)推廣了.同時(shí)對三元的問題也適應(yīng)，而上述的幾種方法未必都能求解.如

已知a，b，c∈R＋滿足a＋b＋c＝1，則a2＋b2＋c2的最小值為________.

生丁：如果是n元的問題可以嗎？即已知ai∈R＋（i＝1，2，…，n）滿足a1＋a2＋…＋an＝1，則的最小值為________.（n為給定的正整數(shù)）

生己：當(dāng)然可以，令，其中，且0，于是，因此，當(dāng)且僅當(dāng)ti全為0時(shí)，最小值為.即使定值為正數(shù)A還是可以的，就可以了.

生乙：如果是二元高次的問題可以嗎？題目改編為：

已知a，b∈R＋且滿足a＋b＝A，其中正數(shù)A為定值，則an＋bn的最小值為_______.

你試試看呢？

生己：設(shè)，其中，因此，利用二項(xiàng)式定理展開可得

an＋bn＝，其中k∈N*且2k是小于或等于n的最大偶數(shù)，而t2i≥0，因此，當(dāng)且僅當(dāng)t＝0，即時(shí)等號成立，所以最小值為.

教師：你很棒！在解題過程中又復(fù)習(xí)了二項(xiàng)式定理，這樣就可以推廣到一般情況：

已知a，b∈R＋，求證：an＋bn≥.

同學(xué)們可以仿照生己的解法證明，你們也可以用其他方法證明.

生甲：我又想到利用消元法與判別式法相結(jié)合求解，t＝a2＋b2＝a2＋（1-a）2＝2a2-2a＋1，因此2a2-2a＋1-t＝0，由于方程有解，因此判別式Δ≥0，于是4-8（1-t）≥0，即.

教師：回到定義去了，很好！但要注意方程應(yīng)該是有正數(shù)解，最后一定要檢驗(yàn).

生乙：也可以利用二次函數(shù)圖象法求解，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝（x-a）2＋（x-b）2，對一切x∈R函數(shù)值非負(fù)，即f（x）＝2x2-2（a＋b）x＋a2＋b2＝2x2-2x＋a2＋b2≥0恒成立，于是二次三項(xiàng)式的判別式Δ≤0，即4-8（a2＋b2）≤0，因此，結(jié)合a＋b＝1得.

教師：很好！生乙的這種方法就是利用一元二次不等式恒成立的充要條件求得參數(shù)的取值范圍.生甲與生乙所給出方法對一般實(shí)數(shù)都適用，可謂是通性通法.

生庚：生乙的解法實(shí)質(zhì)就是柯西不等式的證明過程，于是由柯西不等式得，（12＋12）（a2＋b2）≥（1×a＋1×b）2＝（a＋b）2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.

眾生：我們沒有學(xué)過柯西不等式，你能講一講嗎？

生庚：已知a1，a2，…，an是不全為零的實(shí)數(shù)，b1，b2，…，bn為實(shí)數(shù)，求證：.

證明：構(gòu)造二次函數(shù)，其中，i＝1，2，…，n，因此f（x）≥0恒成立，即恒成立，由判別式得Δ≤0，代入有4（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2-，所以.

教師：很好！生庚用最基本的方法證明了著名定理——柯西不等式，他的證明過程簡潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理、幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本題是很簡單的問題，經(jīng)過大家充分交流，給出十二種不同的解法，許多方法都是不等式求最值的常用方法和策略，即通性通法.從思想方法上看，總結(jié)出基本不等式法、配方法、消元法、判別式法、三角換元法、正余弦函數(shù)有界性、解析法（直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離）、增量法（也稱之為參數(shù)法）、構(gòu)造法（向量法、二次函數(shù)）、柯西不等式等方法，函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、整體代換等數(shù)學(xué)思想；從內(nèi)容上看，涉及高中數(shù)學(xué)的代數(shù)、三角、解析幾何等三大主要知識；從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上看，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象（如動(dòng)與靜結(jié)合、變與不變的轉(zhuǎn)化）、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、幾何直觀（幾何法求解）等五個(gè)方面的素養(yǎng).因此，同學(xué)們平時(shí)做題不要就題論題，而要自覺展開自己的思維，積極參與交流討論活動(dòng)，學(xué)習(xí)其他同學(xué)思考問題的方式方法，大膽嘗試，提升自己的認(rèn)知水平，從而可以創(chuàng)造性地解決新情境問題，只有這樣，才能提升自己的數(shù)學(xué)思考力.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，求證：；

2.已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，求證：.

提示：請參照上述12種解法求解（略）.