運用畫圖策略，讓“復雜”變“簡單”

蘇良都

動手實踐探析癥結、解答問題，是新時期培養學生探究實踐能力的內在要求。在解決較復雜問題時，學生理解抽象的數量關系存在一定困難，如果適時讓學生在紙上涂一涂、畫一畫，可以幫助學生分析和理解抽象的數量關系，從而找到解決問題的方法。畫圖策略是根據所揭示的數學問題內涵，通過各種圖形把抽象問題具體化、直觀化，讓復雜的數學問題變簡單的一種方法。

一、圖中悟理，亮出真實身份

例1：布置教室時，要將一張長36cm、寬27cm的長方形卡紙裁成若干張同樣大小的正方形卡紙，紙張不能有剩余，且正方形的邊長最大，至少可以裁成幾張這樣的正方形卡紙？

教師可以讓學生嘗試按要求先畫一畫，

再剪一剪（如圖1）。在畫的過程中，學生慢

慢就會意識到，符合要求的正方形卡紙的邊長既是27的因數又是36的因數。要使正方形的邊長最大，邊長的取值就要是27和36的最大公因數。

例2：有一些磚，每塊長50cm、寬45cm，

至少要用多少塊這樣的磚才能鋪成一個正方形？

教師可以讓學生根據題意畫一畫鋪的過程（如圖2）。畫著畫著，圖形越鋪越大，學生漸漸悟出正方形的邊長需是45和50的公倍數，而要使所用的磚最少，正方形的邊長就應是45和50的最小公倍數。

這兩道題的相似度很高，均可用短除法求解，且都是由長方形通過剪或拼后得到正方形，都要用到相同的數量關系：行數×列數=總塊數。對于究竟是運用最大公因數還是最小公倍數求解，學生分辨不清，極易混淆。通過畫圖，學生對這兩類正方形的邊長有了細致的體驗，理解會更深刻，應用就將更靈活。當學生有了足夠體驗后，再遇到此類問題時，他們就會立刻在頭腦中浮現出相關的圖形映像，快速分析問題類型，做出合理的解答。

二、圖中啟智，畫出新的領地

例3：某班學生人數在40-50之間，如果分成8人一個小組，那么有一個小組多5人;如果分成12人一個小組，那么有三個小組各少1人，求這個班的學生人數。

此題題意藏得較深，看似無從下筆。讀完題目后，多數學生選擇列舉倍數法，再從中篩選出適合8的結果。如果這時教師引導學生畫一畫、比一比，就能使之豁然開朗。

如圖3，以“★”代替人，把8這

兩種排列情況展現出來。學生很快就

有了新發現，“分成8人一個小組，那

么有一個小組多5人”，還可以看成另

一個小組少3人;“分成12人一個小組，那么有三個小組各少1人”，整合下，就變成了只有一個小組少3人。這樣，這個問題就轉化成了同余問題，只需找到8和12的公倍數，再從中選擇合適的數減去3即可求解。

例4：一條公路要3天修完，第一天和第二天共修了全程的[78]，第二天和第三天共修了全程的[58]，第二天修了全程的幾分之幾？

很多學生認為此題難度較大，只知道兩個分數，求任何一天的工程量都像少了條件。只有部分學生想到把這兩個分數求和，其比單位“1”多的部分，就是第二天修了全程的幾分之幾。教師可以引導學生畫線段圖（如圖4），只要標出第一天和第二天共修了全程的[78]，學生就會清晰地看到剩余部分是1-[78]，即第三天修了全程的[18]。

再結合第二天和第三天共修了全程的[58]，學生就可以輕松地求出第二天修了[58]-[18]=[48]。有了圖形的幫助，學生理解起來就會更清楚。“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，說的也許就是這種感覺吧！

三、圖中有思，展出新的空間

曾聽過劉延革老師的一節關于長方體與正方體的復習課，課堂上學生對問題獨到的思考征服了所有在場的老師。

例5：一個長、寬、高分別為?10dm、6dm、20dm?的柜子，要在里面放長、寬、高各為8dm、6dm、2.5dm的小長方體木塊，問：最多能放幾塊？

一位學生列出算式：10÷8=1……2，6÷6=1，20÷2.5=?8，1×1×8=8，因此最多能放8塊。聽了這位學生有序的解答過程，我暗自為他的空間想象能力叫好。劉老師在屏幕上及時展現出這種擺放方法，在肯定該方法的同時又拋出問題：“還能再放嗎？”學生的思維又被拉向了對柜子的剩余部分（長、寬、高各為?2dm、6dm、20dm）的思考。另一位學生說：“最多可以放9塊。（10÷2.5）×（6÷6）=?4（塊），20÷8=2（層）……4（塊），一共是?4×2=8（塊）。放?了?8?塊后，柜子里仍富余一個長、寬、高各為?4dm、6dm、10dm的空間，還可以再放1塊！”全場老師都佩服劉老師的精妙設計，如果沒有圖上剩余空間的思考這一“扶手”，學生的空間思維很難再上一個臺階，而劉老師的這一問一扶，引發了學生的思維碰撞，得到了意想不到的收獲。大多數教師給學生的引導往往是通過語言，而劉老師則通過對圖形的巧妙應用，在學生的思維拐角處給予了有力的引導與支撐。

四、圖中有情，現出本來面目

例6：一個長方體的高減少?5cm，就變成了一個正方體，這時表面積比原來少?120cm2，原來長方體的體積是多少？

只要結合題意畫圖，就會發現這個長方體的特點。只有當截去部分后，長=寬，才能得到正方體，而減少的面是4個完全相同的正方形，這樣一來，學生就很容易求得正方體的棱長為120÷4÷5=6（cm），進而求出原來長方體的體積。羈絆學生思維的往往是類似于該題中“長=寬”的隱藏條件，通過畫圖，隱藏條件就會浮出水面。

走進數學教學，我們不難發現，畫圖策略的巧妙運用會為學生提供更多思路和解題方法。解決問題時，審題意、畫簡圖、標條件，在這一串流程中，畫圖無疑給學生增加了一雙有形的翅膀。畫圖能直觀明了地展現解題條件，也能給學生的移一移、動一動提供支持，是讓學生的思維走向深處的階梯和橋梁。畫圖，讓數學的深奧因圖形而變得生動直觀，讓學生的思維在圖形中恣意伸展！

【作者單位：宿遷市經濟開發區南蔡實驗學校??江蘇】