求解圓錐曲線離心率范圍問題的常見策略

■河南省濮陽市第一高級中學

離心率是圓錐曲線的一個重要性質,是刻畫圓錐曲線形態特征的基本量,因此,求圓錐曲線離心率的取值范圍問題是歷年高考和模擬考試的熱點問題之一。解決此類問題的基本思路是構造關于a,c,e的不等式。下面結合高考題,介紹求圓錐曲線的離心率的幾種常用方法,以便同學們能更好地理解和掌握此類題的技巧和規律,提高大家分析問題和解決問題的能力。

一、直接利用條件尋找a,c的關系求解

小結:通過對題目已知條件的分析,盡可能直接建立離心率的不等關系來求解。

解析:設直線l的方程為y=k(x-c)。

令x=0,得y=-ck,即點M的坐標為(0,-ck)。

小結:解答本題的關鍵是如何建立k與e之間的關系,然后再利用k的取值范圍來求解e的取值范圍,同時要注意橢圓離心率e隱含的范圍為e∈(0,1)。

二、利用圓錐曲線的第一定義或第二定義求解

小結:圓錐曲線上的點到焦點的距離或到準線的距離,通常要用它們的第一定義或第二定義來建立聯系。

三、利用圓錐曲線的范圍(或焦半徑的有界性)求解

四、利用數形結合求解

解析:要使橢圓與圓有四個不同的交點,只需滿足b＜+c＜a。

小結:將數用形來體現,直接得到a,b,c的關系,這無疑是解決數學問題較好的一種方法,也是重要的解題途徑。

從以上四種求圓錐曲線離心率范圍的策略來看,我們要明確求離心率范圍的關鍵是建立a,b,c的不等關系,然后利用橢圓與雙曲線中a2,b2,c2的默認關系以及離心率的限制范圍,最終求出離心率的范圍。