解題利器
——橢圓中有關(guān)中點(diǎn)弦的性質(zhì)

■浙江省海寧中學(xué)

利用橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì),可以快捷、方便地解決有關(guān)中點(diǎn)弦問題。

一、利用橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)，解決有關(guān)中點(diǎn)弦的斜率、所在直線方程問題

例1已知橢圓=1內(nèi)有一點(diǎn)P(3,1),過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)。若弦AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P,則該直線l的斜率為 。

分析:橢圓方程確定,中點(diǎn)確定,可以利用上述中點(diǎn)弦性質(zhì),得到所需的結(jié)論。

例2已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(-1,1),過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)。若弦AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P,則該直線l的方程為 。

分析:要求直線方程,已知其過點(diǎn)P,則根據(jù)點(diǎn)斜式只需知道該直線的斜率即可。

解:由題意知,a2=9,b2=4,kOP=-1,所以此,該直線l的方程為),整理得4x-9y+13=0。

點(diǎn)評:本題通常采用的方法是點(diǎn)差法或設(shè)定直線方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,建立與斜率有關(guān)的方程,通過解方程來獲取所求直線的斜率。與上述利用性質(zhì)解決問題相比,常法就顯得相對比較煩瑣。故若有性質(zhì)、結(jié)論可以直接使用,不妨一試。

二、根據(jù)橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)，求有關(guān)橢圓方程

例3已知過點(diǎn)P(3,2)且斜率為-2的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn),若弦AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P,則實(shí)數(shù)m的值為 。

分析:直線方程的斜率和中點(diǎn)確定,則可以直接利用性質(zhì)得到實(shí)數(shù)m的值。

點(diǎn)評:應(yīng)用中點(diǎn)弦性質(zhì)時,不需要關(guān)注橢圓焦點(diǎn)的位置。該性質(zhì)可以改寫為:過橢圓內(nèi)一點(diǎn)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn),則

三、根據(jù)橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)，探求橢圓方程中系數(shù)的比例關(guān)系及離心率問題

例4已知橢圓mx2+ny2=1(m,n＞0,m≠n)與直線y=1-x交于M、N兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為的值為 。

四、利用橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)，探求中點(diǎn)坐標(biāo)、軌跡問題

(1)求橢圓C的方程;

例7已知橢圓與一組斜率為2的平行直線相交,探究這組直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)是否在同一條直線上。若是,求出該直線方程;若不是,請說明理由。

分析:由條件可知,假設(shè)該直線過坐標(biāo)原點(diǎn),則由橢圓的對稱性知中點(diǎn)恰為原點(diǎn)。要判斷所得弦的中點(diǎn)是否在同一直線上,則只需判斷這些中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率是否相同即可,由此可以利用中點(diǎn)弦性質(zhì)判斷。

解:由題意可設(shè)直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)為P,則由中點(diǎn)弦性質(zhì)可知k·kOP=因?yàn)閗=2,所以,即無論該組平行直線如何變化,其中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率保持不變。故這組直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在斜率為且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線上,該直線方程為,即x+6y=0。

點(diǎn)評:利用橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì),可以免去我們聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)公式來進(jìn)行計算的煩瑣,還可以簡化我們的運(yùn)算過程。

中點(diǎn)弦問題是橢圓中一類比較特殊的問題,我們可以采用常規(guī)的方法聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決相關(guān)問題,也可以根據(jù)其特殊性,利用點(diǎn)差法,采用設(shè)而不求的方式,結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式進(jìn)行表示。當(dāng)然,如果我們能夠看到中點(diǎn)弦這一結(jié)論性公式,并能夠作簡單的應(yīng)用的話,對于我們的運(yùn)算,將起到大大簡化的作用,同時也能夠提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性。這一中點(diǎn)弦性質(zhì)不僅僅在橢圓中可以應(yīng)用,在后續(xù)的雙曲線問題中,也有類似的中點(diǎn)弦的結(jié)論性公式,同學(xué)們在學(xué)習(xí)了這一公式后,不妨在后續(xù)的雙曲線學(xué)習(xí)中自行對該性質(zhì)作簡單的推導(dǎo)并應(yīng)用。