在學習橢圓時常見的三個解題誤區

■江蘇省沭陽高級中學

橢圓是圓錐曲線中最重要內容之一,也是高考的必考內容。橢圓試題涉及的內容多,且解法靈活。常有一些似是而非的問題,由于我們對某些概念或公式理解上的模糊,從而造成一些表面看起來正確而實際上錯誤的判斷,以致我們的解題思維走入誤區。

誤區一:缺乏對第一定義的深刻理解,應用定義時考慮不深刻、不全面

例1動點P到兩定點F1(-4,0),F2(4,0)的距離之和為的8,則動點P的軌跡為( )。

A.橢圓 B.圓

C.一條線段 D.無軌跡

錯解:選A。

剖析:上述解法忽視了橢圓第一定義中的條件2a＞|F1F2|而導致錯誤,題中的8等于焦距,所以點P的軌跡是一條線段。

正解:選C。

評注:當2a＞2c＞0時,軌跡為橢圓;當2a=2c時,軌跡為線段F1F2;當2a＜2c時,軌跡不存在。

誤區二:在確定含有參數的方程所表示的橢圓類型時,考慮問題不全面

例2橢圓2x2+my2=2m的焦距為6,求m的值。

剖析:由題設不能確定橢圓的焦點在哪個坐標軸上,因此,雙曲線的焦點還有可能在y軸上,因此解出m的值可能有兩個。

綜上,m=11。

誤區三:在解析幾何中,忽視了Δ＞0這一前提條件

例3給定橢圓方程經過點B(2,2),能否作直線m,使m與所給橢圓交于兩點Q1和Q2,且B是中點?這樣的直線如果存在,求出它的方程;如果不存在,請說明理由。

錯解一:假設m存在,則m不垂直于x軸,可設m的直線方程為y-2=k(x-2)。

設點Q1和點Q2的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)。

錯解二:假設直線m存在,則直線m不垂直于x軸,可設直線m的直線方程為y-2=k(x-2)。

兩式相減,得:

3×(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0。

因為Q1Q2的中點B的坐標為(2,2),故x1+x2=y1+y2=4。

正解:假設直線m存在,則直線m不垂直于x軸,可設m的直線方程為y-2=k(x-2)。

(4k2+3)x2+16k(1-k)x+16k2-32k+4=0。①

評注:“代入相減法”需要掌握,但應先判斷曲線與直線是否相交,即當題目出現“直線與圓錐曲線交于不同兩點”這一條件時,一定要優先考慮Δ＞0。