橢圓兩種定義的三種應用

浙江省諸暨工業職業技術學校

運用橢圓的定義解題,主要從三個方面考慮:(1)涉及橢圓上點與兩個焦點的距離問題,可借助橢圓的第一定義來轉化;(2)涉及橢圓焦點、準線、離心率與曲線上點的有關問題,可借助橢圓的第二定義來轉化;(3)同時涉及橢圓的兩個焦點與一條準線的有關問題時,可同時借助兩個定義來轉化。下面舉例說明,僅供參考。

一、求橢圓的方程

例1已知圓C1:(x-4)2+y2=169,圓C2:(x+4)2+y2=9,動圓P與圓C1內切,與圓C2外切,求圓心P的軌跡方程。

解析:由平面幾何知識知道,兩圓相切時可連接兩個圓心,利用圓心距與兩半徑的關系解題。

圖1

如圖1,由條件知兩圓半徑分別是13和3,設P(x,y),動圓半徑 為 r。 則 有消去r得|PC1|+|PC2|=16,即P點到兩定點C1、C2的距離之和是定值16,且16＞|C1C2|。所以點P的軌跡是橢圓,易求得其軌跡方程為=1。

二、求離心率

例2設橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,如果橢圓上存在點P,使∠F1PF2=90°,求離心率e的取值范圍。

解析:先找到e與某個三角函數之間的關系,再利用已知角的范圍得到這個三角函數的取值范圍即可求解。

評注:找出本題的不等關系是解題的關鍵,橢圓的定義中隱含的不等關系主要有:

(1)設點P為橢圓C上一點,則有||PF1|-|PF2||≤2c;

(2)設點P為橢圓C上一點,則有|PF1|+|PF2|≥2c。

三、求最值

例3如圖2,點A(4,0),B(2,2)在橢圓內,點M是橢圓上的動點,求|MA|+|MB|的最值。

圖2

解析:易知A為橢圓的右焦點,則|MA|是一條焦半徑,故考慮用橢圓定義解題。

解得|MA|+|MB|的最大值為10+2,最小值為10-2。