常用邏輯用語要點導學

■鄭州工業(yè)應用技術學院

一、知識盤點

1.命題

在數(shù)學中,我們把用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫作命題。其中判斷為真的語句叫作真命題,判斷為假的語句叫作假命題。

2.四種命題及其關系

(1)四種命題間的相互關系(如圖1)。

圖1

(2)四種命題的真假關系:①兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;②兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關系。

3.充分條件與必要條件

(1)如果p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件。

(2)如果p?q,q?p,則p是q的充分必要條件,記作p?q。

4.命題p∧q、p∨q,￢p的真假判定

表1

5.全稱量詞和存在量詞

(1)全稱量詞有:所有的,任意一個,任給,用符號“?”表示;存在量詞有:存在一個,至少有一個,有些,用符號“?”表示。

(2)含有全稱量詞的命題,叫作全稱命題。“對M中任意一個x,有p(x)成立”用符號簡記為:?x∈M,p(x)。

(3)含有存在量詞的命題,叫作特稱命題。“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符號簡記為:?x0∈M,p(x0)。

6.含有一個量詞的命題的否定

表2

二、方法小結

1.判斷四種命題間的關系的方法

(1)在判斷四種命題之間的關系時,首先要注意分清命題的條件與結論,再比較每個命題的條件與結論之間的關系。要注意四種命題關系的相對性,一旦一個命題定為原命題,也就相應地有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”。

(2)當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時,必須保留大前提,也就是大前提不動。

2.判斷充要條件的方法

(1)命題判斷法:設“若p,則q”為原命題,原命題為真,逆命題為假時,則p是q的充分不必要條件;原命題為假,逆命題為真時,p是q的必要不充分條件;原命題與逆命題都為真時,p是q的充要條件;原命題與逆命題都為假時,p是q的既不充分也不必要條件。

(2)集合判斷法:從集合的觀點,建立命題p,q相應的集合,p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么若A是B的真子集,則p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件;若A=B,則p是q的充要條件;若A不是B的子集且B也不是A的子集,則p是q的既不充分也不必要條件。

(3)等價轉化法:p是q的什么條件等價于￢q是￢p的什么條件。

3.全稱命題真假的判斷方法

(1)要判斷一個全稱命題是真命題,必須對限定的集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立。

(2)要判斷一個全稱命題是假命題,只需例舉出集合M中的一個特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可。

4.特稱命題真假的判斷方法

要判斷一個特稱命題是真命題,只要在限定的集合M中,找到一個x=x0,使p(x0)成立即可,否則這一特稱命題就是假命題。

5.對含有一個量詞的命題進行否定的方法

一般地,寫含有一個量詞的命題的否定,首先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題,并找到其量詞的位置及相應結論,然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞或存在量詞改成全稱量詞,同時否定結論。

三、特別提醒

(1)否命題與命題的否定是不相同的,若p表示命題,“非p”叫作命題的否定。如果原命題是“若p,則q”,否命題是“若￢p,則￢q”,而命題的否定是“若p,則￢q”,即只否定結論。

(2)當一個命題的真假不易判斷時,往往可以判斷原命題的逆否命題的真假,從而得出原命題的真假。

(3)對于省略量詞的命題,應先挖掘命題中隱含的量詞,改寫成含量詞的完整形式,再寫出命題的否定。

(4)命題p或q的否定為:￢p且￢q;命題p且q的否定為:￢p或￢q。

(5)由于全稱命題的否定變?yōu)樘胤Q命題,因此,可以通過“舉反例”來否定一個全稱命題。

四、基本題型

題型一 四種命題及其真假判斷

本題型考查簡單命題的真假判斷和命題的四種形式,多以原命題的否命題、逆否命題的形式出現(xiàn)。

例1(2018·南昌十校模擬)命題:已知a,b,c為實數(shù),若abc=0,則a,b,c中至少有一個等于0。在該命題的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數(shù)為( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:原命題為真命題,其逆命題為“已知a,b,c為實數(shù),若a,b,c中至少有一個等于0,則abc=0”,也為真命題。根據(jù)命題的等價關系可知其否命題、逆否命題也是真命題,故在該命題的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數(shù)為3。故答案為D。

解題秘籍:(1)由原命題寫出其他三種命題,關鍵要分清原命題的條件和結論,將條件與結論互換即得逆命題,將條件與結論同時否定即得否命題,將條件與結論互換的同時進行否定即得逆否命題。(2)命題真假的判斷方法:①聯(lián)系已有的數(shù)學公式、定理、結論進行直接判斷;②利用原命題和其逆否命題的等價關系進行判斷。

題型二 充分條件、必要條件的判斷

本題型主要以其他知識為背景,考查充要條件的判斷,多與函數(shù)的性質、不等式的性質及其應用,解析幾何中的直線與圓,圓錐曲線的位置關系以及空間中的線面位置關系等知識交匯。

例2(1)(2018·衡陽聯(lián)考)設p:x2-x-20＞0,q:log2(x-5)＜2,則p是q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)(2018·惠州市調研)設函數(shù)y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|是偶函數(shù)”是“y=f(x)的圖像關于原點對稱”的( )。

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解析:(1)因為x2-x-20＞0,所以x＞5或x＜-4,p:x＞5或x＜-4。

因為log2(x-5)＜2,所以0＜x-5＜4,即5＜x＜9,q:5＜x＜9。

因為{x|5＜x＜9}?{x|x＞5或x＜-4},所以p是q的必要不充分條件。故選B。

(2)設f(x)=x2,y=|f(x)|是偶函數(shù),但是不能推出y=f(x)的圖像關于原點對稱。

反之,若y=f(x)的圖像關于原點對稱,則y=f(x)是奇函數(shù),這時y=|f(x)|是偶函數(shù)。故選C。

解題秘籍:充分條件、必要條件的判定方法有定義法、集合法和等價轉化法。三種不同的方法適用于不同的類型,定義法適用于定義、定理判斷型問題;而集合法多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題;等價轉化法適用于條件和結論帶有否定性詞語的命題,常轉化為其逆否命題來判斷。

題型三 充要條件的應用

例3(2018·濟南月考)已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m},是否存在實數(shù)m,使得x∈P是x∈S的充分必要條件?若存在,請求出m的取值范圍。

解析:解得P={x|x2-8x-20≤0}={x|-2≤x≤10}。

要使x∈P是x∈S的充分必要條件,則P=S,{x|-2≤x≤10}={x|1-m≤x≤1+m}。

因此,不存在實數(shù)m,使得x∈P是x∈S的充分必要條件。

解題秘籍:解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式求解。

題型四 含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷

解析:對于命題p,當x=4時,x+00,故命題p為真命題。對于命題q,當x=4時,24=42=16,即?x0∈(2,+∞),使得成立,故命題q為假命題。所以p∧(￢q)為真命題,故選A。

解題秘籍:若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假,其步驟如下:(1)判斷復合命題的結構;(2)判斷構成這個命題的每個簡單命題的真假;(3)依據(jù)含有“或”、“且”、“非”的命題的真假判斷方法,進行判斷即可。

題型五 寫出全稱命題或特稱命題的否定

給出一個與不等式有關的全稱命題或特稱命題,要求直接寫出它的否定。

例5(1)(2018·鄭州模擬)命題“?x0∈R,x20-x0-1＞0”的否定是( )。

A.?x∈R,x2-x-1≤0

B.?x∈R,x2-x-1＞0

C.?x0∈R,x20-x0-1≤0

D.?x0∈R,x20-x0-1≥0

解析:(1)依題意得,命題“?x0∈R,x20-x0-1＞0”的否定是“?x∈R,x2-x-1≤0”,故選A。

解題秘籍:全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別,否定全稱命題和特稱命題時,一是要改寫量詞,全稱量詞改寫為存在量詞,存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結論,而一般命題的否定只需直接否定結論即可。同時需注意,對于省略量詞的命題,應先挖掘命題中隱含的量詞,改寫成含量詞的完整形式,再寫出命題的否定。