對圓錐曲線中的定點問題的思考

■安徽省太和中學

圓錐曲線的定點、定值問題,是指某些幾何量不受運動變化的元素的影響而有固定取值的一類問題,是在運動變化中尋找不變量的一類題型。定點、定值問題是數學思想與數學知識緊密結合產生的一類綜合性試題,其解題方法體現了一般與特殊的數學思想,也是高考考查邏輯推理素養、數學運算素養等數學核心素養的熱點題型之一。

一、問題的提出

(一)高考原題

(1)求C的方程。

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點。

(二)官方解析

(1)由于P3,P4兩點關于y軸對稱,故由題設知C經過P3,P4兩點。

(2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2。

所以直線l必過定點（2,-1）。

二、對定點問題的思考

(一)思考

例1是圓錐曲線的定點問題的證明。既然是定點的證明問題,是否可以根據特殊情形求出定點的坐標,再針對一般情形加以證明或者驗證呢?

設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,根據第(1)小題可知a=2,b=1,經過點與右頂點的直線的斜率恰為,注意到k1+k2=-1,應用極限的數學思想,直線P2A與直線P2B的斜率趨于相等,即點A,B趨于重合時恰好滿足題設,此時直線l趨于橢圓的切線x=2,所以定點在直線l:x=2上。

再者,設A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設l:y=kx,將y=kx代入得(1+4k2)x2-4=0,則:

驗證如下:

①當直線l的斜率不存在時,過點（2 , -1）的直線與橢圓C相切,與題設不符。

所以直線l必過定點(2,-1)。

(二)評析

在定點問題的解決過程中,可以首先借助于特殊情形確定出這個定點,這也是特殊與一般的思想之“特殊”,而特殊情形的選擇不一定就是平行于坐標軸的情形,具有一定的靈活性、技巧性。定點問題的解決的第二個環節是結合一般情形論證這個定點,這是特殊與一般的思想之“一般”。一般情形的論證往往借助于待定系數法,運用轉化與化歸的數學思想化歸為含有參數的等式恒成立問題來處理。當然,更為簡捷的方法不必是一般情形的“論證”,而是對定點的“驗證”。

(三)定點問題創新解法的應用

(1)求橢圓C的方程。

(2)若直線l與橢圓C相切于點P,與直線x=2相交于Q,問是否存在定點M使得MP⊥MQ。若存在,寫出定點M的坐標;若不存在,請說明理由。

(2)①直線l的斜率為0時,若l:y=1,則P（0,1）,Q（2,1）,此時M必在圓(x-1)2+(y-1)2=1上;若l:y=-1,則P(0,-1),Q(2,-1),此時M必在圓(x-1)2+(y+1)2=1上。

所以若存在定點M,則M必是圓(x-1)2+(y-1)2=1與圓(x-1)2+(y+1)2=1的公共點M(1,0)。

②法1:論證過程如下:

直線l與直線x=2相交于Q,則直線l的斜率必存在,設直線l:y=kx+m,則:

故存在定點M(1,0),使得MP⊥MQ。

法2:驗證過程如下:

同法1,若滿足條件的點M存在,只能是M(1,0)。

故存在定點M(1,0),使得MP⊥MQ。

(四)對創新解法的評析

定點問題的解決的第二個環節可以結合一般情形“論證”這個定點,更為簡捷的方法不是論證,而是“驗證”,如例2的論證過程須運用待定系數法轉化為含有兩個參數的等式恒成立問題,十分繁雜,極容易出錯,而驗證過程大大減少了運算量,簡捷自然。

三、創新解法的延伸

定點問題的解決的創新思路是:“特殊情形求定點,一般情形證定點。”這種創新思路是否可以延伸到定值問題、參數問題呢?

(1)求橢圓C的方程。

(2)設P為橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N。求證:AN ·BM為定值。

故AN ·BM為定值。

例4(2016年四川理科20)已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T。

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標。

(2)設O是坐標原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P。試證明存在常數λ,使得PT2=λPA ·PB,并求λ的值。

解析:(1)設短軸一端點為C(0,b),左右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),其中c＞0,且a2=b2+c2。

又直線l與橢圓E只有一個交點,則Δ=122-4×3(18-2b2)=0,解得b2=3。

證明如下: