橢圓的“第三定義”
——從課本上一道例題談起

■河南師范大學附屬中學

人教版教科書高中《數學》選修2-1第41頁有這樣一道例題:如圖1,設點A、B的坐標分別為(-5,0),(5,0)。直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是,求點M的軌跡方程。

圖1

對此例題推廣到一般情況:設點A、B的坐標分別為(-a,0),(a,0)。若直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是-(a＞0,b＞0),求點M的軌跡方程。

橢圓的 “第三定義”:平面內與兩個頂點連線的斜率之積為絕對值不為1的負實數的點的軌跡是橢圓。

根據橢圓的“第三定義”以及上面的證明過程我們不難得出:

不難發現結論1中線段AB是橢圓的長軸,是橢圓的一條特殊的直徑(過橢圓中心的弦叫作橢圓的直徑),對于橢圓一般的直徑來說,同樣的結論能否成立呢?

于是我們得到:

結論2中,顯然O為直徑DE的中點,于是在三角形CDE中就很容易想到構造三角形的中位線,如圖3,設M為橢圓的弦CD的中點,則OM∥CE,當直線CD不垂直于坐標軸時,顯然kOM=kCE,根據結論2我們不難得出橢圓中點弦的一條重要性質:

圖2

圖3

數學中很多知識是相互關聯的,也是有規律可循的,多掌握一些有邏輯聯系的數學結論,對我們數學解題是大有裨益的。下面針對本文介紹的結論,給出一些具體的題目供大家練習。

針對練習:

參考答案與提示:

同理可證,點P位于橢圓的下頂點時∠APB最大。