一道關(guān)于橢圓中直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的思考

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)

在圓錐曲線中,橢圓是高考考查的重要內(nèi)容,其中的定點(diǎn)問(wèn)題是重點(diǎn)題型之一,值得我們關(guān)注。

這類(lèi)問(wèn)題的求解策略為:直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算中提取變量,從而得到定點(diǎn)。

下面通過(guò)一道例題推導(dǎo)一般結(jié)論,再對(duì)一般結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)要證明。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)A(3,0)作關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩條不同直線l1,l2分別交橢圓C于M(x1,y1)與N(x2,y2),且x1≠x2,證明直線MN恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)。

解析一:直觀設(shè)法,從已知兩條對(duì)稱(chēng)直線入手,根據(jù)斜率的關(guān)系進(jìn)行代數(shù)化,這種方法找到思路易,但運(yùn)算難。

故直線MN的方程為:

把②代入③整理得:

解析二:從結(jié)論入手,找出直線MN的方程后,直接令y=0,求x即可。

(2)設(shè)l1:y=k(x-3),l2:y=-k(x-3)。

解析三:直接設(shè)直線MN的方程,此法難想,卻易求。

(2)設(shè)直線MN的方程x=ny+m(n≠0)。

因?yàn)橹本€l1,l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),故斜率之和為零。

通過(guò)對(duì)這道例題的解析,我們可得到如下結(jié)論:

證明:設(shè)直線AE的方程x=ny+m(n≠0)。

因?yàn)橹本€lEP,lAP關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),故其斜率之和為零。

注意:這種解法具有一定的局限性,只適合解決該類(lèi)問(wèn)題。