例析處理超越方程的若干策略

王一棋

近幾年高考中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題受到出題專家的青睞，每年的壓軸題都是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，很多學(xué)生對(duì)于求導(dǎo)之后的求解方向不是很清晰，尤其是對(duì)于超越方程的處理感到棘手，在2017年新考綱出臺(tái)的背景下，對(duì)于超越方程的考察又是怎樣的方式？本文從4個(gè)方面給出關(guān)于超越方程的一些教學(xué)建議.

1 新高考大綱對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求

考試大綱是高考命題的規(guī)范性文件和標(biāo)準(zhǔn)，是考試評(píng)價(jià)、復(fù)習(xí)備考的依據(jù)，是推進(jìn)考試內(nèi)容改革的切入點(diǎn).2016年底國(guó)家教育部考試中心下發(fā)了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，發(fā)布了考試大綱中部分修訂的內(nèi)容，教育部考試中心此次修訂《考綱》是基于國(guó)家目前改革的進(jìn)程和需要，基于高考的基本立場(chǎng)，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科，此次修訂明確提出了從3個(gè)方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，即數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值.

2 新高考大綱要求下的超越方程呈現(xiàn)方式

超越方程（transcendental equation）是指包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變量的多項(xiàng)式或開有理數(shù)次方表示的函數(shù)，與超越方程相對(duì)的是代數(shù)方程，大部分的超越方程求解，沒有一般的公式也很難求得解析解，常見的超越方程如指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程、反三角方程等.

2017年的高考已經(jīng)落下帷幕，現(xiàn)在我們可以站在過來人的角度去審視新大綱的要求和2017年的高考，其中全國(guó)卷I卷、II卷、III卷的壓軸題，展現(xiàn)了關(guān)于超越方程在中學(xué)階段的處理原則，其實(shí)不僅僅是2017年的考試，在歷年的高考中，關(guān)于超越方程的處理一直都是學(xué)生感到棘手的問題，如果能對(duì)超越方程的處理方法做一些了解的話，那么對(duì)于解決壓軸題可以說是大有裨益的，筆者將2010～2017近8年的全國(guó)及各地高考試題，逐一統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)解決的方法是有一些規(guī)律可循的.

3 超越方程的教學(xué)建議

3.1 可以直接求解的超越方程

在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生并不清楚為什么求導(dǎo)，遇到超越函數(shù)只是盲目求導(dǎo)，求導(dǎo)之后不知道要做什么，首先我們要明白，求導(dǎo)之后我們到底為了得到什么？其實(shí)求導(dǎo)的目的無非是兩個(gè)，一是得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，二是得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)往往是原函數(shù)的極值點(diǎn)，與單調(diào)性結(jié)合，得到原函數(shù)的最值，從而達(dá)到破題的目的，下面我們以2017年高考全國(guó)I卷第21題的第一問為例說明.

這里我們僅就第一問進(jìn)行分析，本題的情況是我們?cè)诮忸}中最愿意見到的一種情況，就是在求導(dǎo)之后，令導(dǎo)函數(shù)等于零，得到類似于二次方程的指數(shù)方程，這樣我們就可以直接求解方程，得到極值點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性，從而比較順利的解決問題，類似的題目還有2013年的全國(guó)I卷壓軸題.

這一問表面看是含參數(shù)超越不等式恒成立的問題，其實(shí)不然，常見的參變量分離或者構(gòu)造函數(shù)的手法是無法解決的，本題破題關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)在于得到超越方程x-1- alnx=0的解是x=l，而x-l-alnx=0是無法求解的，那么我們?cè)趺吹玫竭@個(gè)方程的根呢？方法就是通過觀察函數(shù)的特征進(jìn)行猜想，通過觀察的方法得到超越方程的解，然后通過二次求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到原函數(shù)的極值點(diǎn)，猜根的方法在很多題目中都有體現(xiàn)，比如我們看2010年全國(guó)I卷的壓軸題，也是這樣的方法，

這里需要說明的是最值需要利用洛必達(dá)法則求出，類似的問題還有2011年全國(guó)卷的壓軸題，2013年北京卷的壓軸題等等，有時(shí)候我們遇到的超越方程是猜不出方程的根的，那么我們給出以下建議.

3.2.2 假設(shè)借代

下面我們看一下2017年的全國(guó)II卷的壓軸題，此題非常好地詮釋了不可求解的超越方程的第二種處理方法，

可以通過觀察猜出一個(gè)極值點(diǎn)是1，有y= 2x-2和y=1nx圖象可以知道應(yīng)該有2個(gè)極值點(diǎn)，有一個(gè)極小值點(diǎn)1，而另一個(gè)題目問的極值點(diǎn)無法求出，也無法猜出，那么怎么辦呢？此時(shí)我們采用假設(shè)借代的方式予以解決.

4 結(jié)語(yǔ)

超越方程是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的研究方向，學(xué)習(xí)好超越方程對(duì)于學(xué)生的領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)能力是大有好處的，這也符合新的高考大綱的要求，超越方程沒有一般的求根公式，總是因其特殊性而采用各種特殊而有效的方法解決問題，本文從4個(gè)角度對(duì)于高中常見的超越方程進(jìn)行解析，并給出一些建議，希望對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)超越方程能有所幫，當(dāng)然知易行難，上述內(nèi)容還需要學(xué)生加強(qiáng)理解與訓(xùn)練才能靈活運(yùn)用.

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