開放性探究 動態式引導

章金玲

1 引言

2018年福建省質檢理科試題第16題系動態三角形的最值問題，實測結果表明，學生的得分很不理想，考后筆者讓學生再次思考，發現很多學生還是無從下手，三角形的“多個”、“動態”、“最值”集中在一題中，確實讓學生望而生畏，在高三的二輪復習中，學生似乎都會了，又似乎都忘了，試卷講評的滿堂灌，教師的一言堂模式，似乎收效甚微，日本教育學者佐藤學說過，教育往往要在緩慢的過程中才能沉淀下來，于是，筆者在講評課前，先給出3個問題進行探究，將“封閉題”改成“開放題”，讓學生在發散性思維中感受三角形中邊與角的關系，動與靜的關系.

2 教學實錄

環節1課前探究

探究1 已知AABC，A=60°，增加兩個條件，能否確定三角形？若能確定，說出思路，

探究2 已知△ABC，A=60°，增加一個條件，能否確定三角形？若不能，研究有關最值或取值范圍問題，

探究3 已知△ABC增加兩個條件，能否確定三角形？若不能，研究有關最值或取值范圍問題.（注：以上3個探究，各編一題，并附上完整解答）

設計意圖 探究問題能否有效開展，一個很重要的原因是選取入口寬、操作性強的探究問題，將形式設置成開放性，這樣學生的想法就多了，學習更為主動更有激情，不會束縛在同一題中，并且設計自編題環節，讓學生當一回“老師”，學生的主動性增強，思考也更加深入和嚴密.

環節2 收集素材

學生的想法海闊天空，編擬的試題各式各樣，感嘆學生的活躍思維和巨大潛能，然而一堂課不能漫無目的，須有明確的引導方向和達到解決問題的目的，故在上課前對題目整理歸類.

引導2：問題1中的④⑤，無法利用均值定理求解，考慮到均值定理的局限性，利用正弦定理將邊化為角，通過三角函數求值域的方法來解決，但三角恒等變換具有一定的技巧性和繁瑣性，請比較兩種方法在求最值問題方面的利弊，

引導3：固定邊a，點A在△ABC外接圓的圓弧上運動，以運動觀點來解決AABC周長的取值范圍、AABC面積的最大值和第⑥問，課堂上，筆者通過幾何畫板演示，讓學生體驗三角形動態變化過程，挖掘三角形的“變”與“不變”，問題1中的⑥，是將⑤改成選擇題，只要拖動點A使AB過圓心，此時角C為直角，b² +c²=5應舍去，輕松得到答案為A.

引導4：啟發學生用運動觀點來研究問題2至4，關注動點的軌跡，關注不變量，

問題2：已知AABC，BC=2，AB= √2Ac，求AABC面積的最大值，

問題3：已知△ABD，C在AD上，AD= 3AC，且BC⊥BD，求角A的最大值，

問題4：已知△ABC，b+c=4，a=2，求AABC面積的最大值，

生1：問題2中邊BC為定值，△ABC面積的最大值取決于點A到直線BC的距離，將點B，C固定，則點A的軌跡為阿波羅尼斯圓，由此就可以求出高的最大值，進而得到面積的最大值，

生2：問題3中將邊AD固定，點C就固定了，而點B在以（D為直徑的圓0上運動，當AB與圓0相切時，角A達到最大，

生3：問題4與問題2相同，AABC面積的最大值取決于點A到直線BC的距離，將邊BC固定，則點A的軌跡為橢圓，當點A運動到短軸端點時，面積達到最大值，

師：3位同學都回答得很好，用動態的觀點去看待不確定三角形，挖掘三角形中的動與不動，避免了繁瑣的代數運算，

教師用幾何畫板演示，讓學生直觀地感受三角形的動態變化，并且提出用動態的觀點試著解決省質檢的三角問題，于是，題目的三角形已由一個過渡到多個，動態點已由1個過渡到2個，這樣，如何建立2個動點的關系是解題的突破口，這時再引導學生進行思考，來實現.

生5：作CE垂直于x軸，垂足為點E;作DF垂直于x軸，垂足為點F，則RtABEC∽RtADFB，相似比為1：2，進而得到坐標關系，

生6：從點的運動變換入手，將BC逆時針旋轉90°再拉伸為原來2倍得到點D.以點B為坐標原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，設點C（r cosa，r sina），則D（2r cos（a +90°），2r sin（a+ 90°）），點C在圓上運動，c（-l+√5 cosθ√5sinθ），則D（-2√5sinθ-2+2√5cosθ），

師：3位同學回答得都很好，分別從向量、平面幾何、圖像變換來詮釋點C和點D之間的聯系，尋找到解題的突破口，接下來，請同學們試著用動態的觀點解決兩道高考題.

環節5 高考鏈接

啟發學生用有限來解決無限的問題，抓住臨界狀態來研究問題，

師：你們回答的太棒了.這兩道題從題型看是填空題和選擇題，應盡量小解巧解，兩位同學從動態的觀點分析，并用有限與無限的思想，抓住臨界狀態來研究問題，真的很棒.

教師還可用幾何畫板進行動態演示（如下圖）.

環節6 歸納方法

提問：本節課，你有什么收獲？

生：我對動態三角形有關最值問題的解決方法有了新認識：①利用基本不等式;②利用三角函數;③引進變量，構造函數;④解析法，坐標化;⑤做輔助線，利用幾何性質;⑥運動觀點，關注動點的軌跡，關注不變量;⑦極限思想，關注臨界狀態.

師：回答得很好，方法多固然是好，但要引發我們深度思考：方法多樣，如何精準選擇切入點，不僅要與題目的條件和問題有關，而且也要與題目的類型有關，選擇題、填空題、解答題的處理方式也應有所不同.

環節7 課后反思

如何選擇恰當的方法來研究動態三角形的最值問題？如何合理地選擇參數或變量，建立方程組或構造函數？如何聯系三角形中的邊與角的關系？如何建立多個三角形之間的聯系？如何合理地建立坐標系？如何構造輔助線，利用平幾知識解決三角形問題？

設計意圖：筆者用6個“如何”引發學生在課外不斷延展對動態三角形最值問題的處理與反思.學生思維的發展過程，不能僅僅局限于課堂，應延展到課后，通過作業與反思鞏固提升.

3 教學反思

本節課以學生為主體，采用引導式教學和幾何畫板輔助教學，教師適當穿針引線，提高學生的參與度、思維度，激發學生的創造性.本節課標題中的“動態”，既形容三角形是在運動變化，又體現用運動觀點處理三角形，更體現學生思維的動態發展，即從課前的發散思維到課上的理性思維，再到課后的深層思維.