一道2018福建省質檢試題的評析與啟示

曾建東

1 試題再現

題如圖是某小區2017年1月至2018年1月當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1-13分別對應2017年1月-2018年1月）

根據散點圖選擇y=a+b√x和y=c+dlnx兩個模型進行擬合，經過數據處理得到兩個回歸方程分別為y=0.9369+0.0285√x和y=0.9554 +0.03061nx，并得到以下一些統計量的值：

（1）請利用相關指數R2判斷哪個模型的擬合效果更好;

（2）某位購房者擬于2018年6月份購買這個小區m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）.若購房時該小區所有住房的房產證均已滿2年但未滿5年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：

（i）估算該購房者應支付的購房金額.（購房金額=房款+稅費;房屋均價精確到0.001萬元/平方米）

（ii）若該購房者擬用不超過100萬元的資金購買該小區一套二手房，試估算其可購買的最大面積.（精確到1平方米）

附注：根據有關規定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按房屋的計稅價格進行征收.（計稅價格=房款）

征收方式見下表：

2 試題評析

試題設問很像2015年新課標全國卷I的第19題，試題立足教材和大綱，不超綱，題材來源于生活，使學生體會統計與概率知識和現實生活息息相關，在工作和生活中有著廣泛而又重要應用，形成自覺應用數學知識指導社會實踐的意識，提高綜合實踐能力，這體現了課標中注重情感態度與價值觀、過程與方法、實踐與創新的課程理念，充分體現了全國卷I對高三學生在統計及函數應用方面的具體要求，試題入手容易但要解答完整卻并不簡單，知識的綜合性強，閱讀量大，也有一定的計算量，需要學生在短時間內提取有用信息來解決問題，整題對運算求解能力要求較高，需要學生掌握一定的運算技巧，計算“既快又準”，試題的區分度較好，充分考查了學生的數學建模及數據處理能力，

第（1）題以購房問題為背景，以散點圖、相關指數R2為載體，考查回歸分析等基礎知識，考查數據處理能力、推理論證能力、運算求解能力和應用意識，考查統計與概率思想等，學生只要理解相關指數R²的意義：R2越接近于1，表示回歸的效果越好，便可通過簡單估算解決問題，

第（2）（i）題以估算購房金額為載體，考查回歸分析、函數等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、應用意識，考查統計與概率思想、分類與整合思想、函數與方程思想等，考查學生在復雜的問題情境中獲取有用信息分析問題和解決問題的能力，通過散點圖確定2018年6月對應的x =18，代入（1）中擬合效果更好的模型y=0.9554+0.0306·Inx，并利用參考數據In2≈0.69，In3≈1.10即可求出二手房均價的預測值為1.044萬元/平方米，通過閱讀稅收征收方式對應的圖表信息，選擇有用的信息進行合理分類，建立分段函數模型，

第（2）（ii）題以估算可購房屋最大面積問題為載體，考查函數與不等式等基礎知識，考查運算求解能力及應用意識，考查函數與方程思想等，首先通過估算得到，90平方米的購房金額小于100萬，100平方米的房款大于100萬，從而判斷100萬可購買的面積在90至100平方米之間，便可利用（2）（i）中相應的結論求解.

3 一點商榷

這道題第一步考查利用相關指數R2判斷題目所給的兩個模型中哪個模型的擬合效果更好，參考公式只給出了相關指數R2的計算公式，但湘教版選修2-3沒有涉及相關指數R²2、殘差，人教版選修2-3在85頁有詳細闡述相關指數R2，這樣對于采用湘教版選修2-3教材的學生有失公平，他們或許沒學過利用相關指數R2判斷模型擬合效果好壞的依據，這樣做這道題只能靠猜測了，可以在題目條件或者參考公式中補充：相關指數R²越接近于1，表示回歸的效果越好，命題者在命題時要考慮教材的差異，確保公平，對于新的概念、新的符號一定要在題目中給予必要的交代.

4 對今后備考復習的啟示

從2018年的《考試大綱》和《考試說明》及近幾年的高考試題，結合各省質檢卷的分析可以發現，全國卷在統計與概率這一部分命題基本穩定，2018年在考查內容、試題數量與分值、出現位置、難度系數、創新方向等方面依然會保持原有的風格，下面給出復習建議供讀者參考.

4.1 關注閱讀理解能力的培養

全國卷統計與概率的應用題往往與實際生活背景結合在一起，題目長達一頁，需要學生快速提取有用信息，理解題意，建議邊讀邊做些記號，轉化為數學問題，要強化學生對概率統計基本概念的理解、基礎知識的掌握和基本方法的應用，在概念教學中要準確掌握概念的內涵、外延，精選典型案例，通過引導辨析、鞏固、應用等，使學生正確理解概念的本質屬性，比如2017年全國卷的統計題就要求學生剔除（μ- 3σ，μ+3σ）之外的數據.

4.2 重視基礎，回歸教材

高三復習應改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎，靈活運用知識處理分析問題，領會《考試大綱》的精髓和《考試說明》的要求，同時認真研究2013-2017的新課標全國卷I高考真題，平時在訓練中要加大對頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表的訓練，讓學生掌握從圖表中讀取信息，如眾數、中位數、平均數等，熟練掌握散點圖、線性回歸分析、獨立性檢驗、正態分布等有關知識，掌握通過適當的變量代換，把非線性方程化為線性回歸方程，從而確定未知參數的方法，同時個別非主干的冷門知識也不能忽視，如相關系數、相關指數、殘差圖、擬合效果等，

近幾年的全國卷越來越重視實踐性、應用性，要求學生應用數學原理和數學工具解決實際問題，因此在最后階段要根據復習內容，適時設置合適的應用性問題，讓學生在解決問題中逐步學會將實際問題數學化，訓練數學建模能力，提高分析、解決實際問題的能力，關注利潤問題、分段函數問題，加強應用題的答題規范訓練，學會解決實際問題的基本步驟——將實際問題轉化為數學問題，求解數學問題，并將數學問題的運算結果還原到實際問題，進而解釋實際問題.

4.4 重視數學運算，提高運算能力

全國卷統計與概率題數據往往比較多，對運算技能的要求高，運算技能是基本的數學技能，是解題的基本功，運算的合理性、簡捷性與準確性仍是后期復習的重點，把復雜問題簡單化，減少運算的步驟，巧妙利用題目所給的參考數據提高解題速度，使學生解決問題更加簡便、科學、合理，平時加強運算的限時訓練，避免“一算就錯”，重視答題規范，向非智力因素要分.

4.5 重視考試心態，增強應變能力

面對統計與概率題目敘述長、數據多的特點，許多學生可能遇到挫折，所以在平時的日常教學中要對學生的心理素質和應變能力加以指導，經受挫折和失敗的考驗，增強抵抗壓力的能力，碰到難題，不能慌張，也可以通過這樣想“題目越長越簡單”“我難別人更難”來增強自信心，如果有些題目第一步暫時無法解出，可以把第一步的結論當作第二步的條件來用，靈活應變，在最后訓練過程中，把每一次訓練當成高考，而把高考當成平時的練習，爭取高考超常發揮.