例談用正余弦定理解題的幾種常用技巧

羅清克

（云南省昆明市第五中學 云南昆明 650000）

想要學好數學，首先要用好公式。巧用公式會給解題帶來事半功倍的效果。下面就筆者的教學及解題經驗，簡單談一談用正余弦定理解題的幾種常用技巧。

一、正弦定理

正弦定理通常能解決的問題是：（1）已知兩角及任意一邊，求其它邊角；（2）已知兩邊及一邊的對角，求其它邊角；（3）已知對邊對角，求三角形外接圓的半徑、周長、面積等。在這里主要談以上幾種以外的常用技巧。

1.邊化角

案例1 △ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，求角B。

左右兩邊用正弦定理把邊換成相對角的正弦后，兩邊的2R可以約掉，相當于把邊換成了角。以后為了簡便書寫，還可以直接寫“由正弦定理得”，再接著寫約去2R后的式子。比值型也可以換，如問題“△ABC中，已知，求最大內角”，可化為，7：5：3：：=cba設kckbka7,5,3===，再用余弦定理即可求出。

2.角化邊

案例2△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，求△ABC的面積。

同樣的，也可以直接寫“由余弦定理得”，再接著寫約去2R后的式子。比值型也可以使用，如求的值時，實際只需要求出即可，他們的值是相等的。

二、余弦定理

余弦定理有三個公式：

余弦定理能解決的最基本的問題是：（1）已知兩邊及其夾角，求第三邊；（2）已知三邊，求任意一角。同樣地，在這里只談上面以外的常用技巧。

1.湊公式

案例3 △ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且求角C。

在這里，三個公式要湊哪個公式呢？一種方法是看平方前的符號，把三個平方項移到一邊，看哪個平方前面的符號與其它兩項的符號相異，就選擇相異號的平方開始的公式；另一種方法是看積什么，選擇沒有出現的邊的平方開始的公式。如要選擇公式。

2.余弦定理的特殊用法

案例4 △ABC中，內角A、B、C對的邊分別為a、b、c，已知，求c。

我們先看一看，按常規用正弦定理來解。

我們再來看看直接用余弦定理的效果。

顯然，第二種方法簡單而快捷。本來這個問題已知的是兩邊及一邊的對角，恰好是正弦定理的常規解法，但解下來發現較繁雜，“不劃算”。而用余弦定理往往還會首先想到選擇，但會發現一個方程里有兩個變量，無法解出最終結果。妙是妙在選擇余弦公式時要選擇已知給定角的對邊開始的公式。筆者把這種用法稱之為余弦定理的特殊用法。當然，在這個問題中把已知邊再給大一點，超過（如 3b= 時），就會出現兩個正解的情況，這時要進行分類討論，還要利用三角形兩邊之和大于第三邊進行取舍。

正余弦定理的常用技巧還很多，比如還有平方、配方、均值不等式等，這里就不再一一贅述。

高中數學的教學及學習都要善于總結一些方法和技巧，對于解三角形這類較為簡單的問題也不例外。