培養數感應注意的四個問題

杜紫紅

什么是數感？從字面上來理解，就像樂感、空間感那樣，可以理解為人們對數與運算的感覺。數感的建立使人們遇到一些具體問題時，能透過繁雜的現象，簡化思考過程，自然地或有意識地用數學的觀點和方法來處理和解釋現實問題。但是，數感并不是數學學習中的一個公式或一種觀念，有時教師沒能意識到數感培養的重要性。因此，本文從四個方面進行論述，談數感培養特別需要注意的四個問題。

一、積累數感——強化感知

培養學生的數感就是要讓學生感知周圍的世界具有量化的意味，要讓學生更多地接觸和理解現實生活，加強學生對各種數學知識的生活感知，使學生獲得鮮明的知覺形象，積累相關知識的豐富外延，深入理解數學知識的內涵，進而抽象出各種數學知識。但是，實際教學中，有些教師忽視引導學生對概念的具體感知，滿足于學生會回答、會解題，這樣，在看似提高效率的同時，失卻了學生對基本數感的積累。

例如，大部分學生在入學前對5以內各數已經有了一定的認識，因此有些教師教學時只是關注學生是否會認讀寫1～5各數，這樣會使得學生的數學學習只是停留在操練層面上。實際上，數字的基數含義是對實物進行分類，把每一類看作一個集合，然后依次使集合中的每一個元素分別同自然數中的1、2、3……一一對應，最后一個元素所對應的自然數就是這個集合中元素的個數，也就是物體的總數。如何讓一年級的學生理解這么“晦澀”的含義呢？教學時應注意什么呢？這就要求教師強化生活感知教學，給學生呈現多樣的數數對象，讓學生經歷從具體實物中抽象出數字的過程，豐富學生的認知表象，為建立學生的數感打基礎。

如認識1時，讓學生懂得數的對象都是在一個“圈”內，即在一定范圍；認識2時數河馬，引導學生意識到河馬有大有小，數數時不分大小；認識3時數長頸鹿，可以用長頸鹿的頭來代替，即數數時可以用部分表示整體；認識5時，引導學生數天空中有幾個物體，圖中有幾個人，使其意識到“不同類”的物體可以放在一定的范圍內計數。在這一基礎上，讓學生舉例5可以表示什么，從一些給定的對象中找到5。

這樣，通過一個個具體情境抽象出數字，并調動學生的生活經驗，引導學生多角度尋找數學原型，拓展了數字的外延，同時在抽象數字的過程中對用數字表示物體個數的內涵進行了逐層深入的認識，幫助學生形成數感。

數概念本身是抽象的，學生從整數中認識完整的個數，逐漸拓展到分數、小數等，這些數概念的建立，依托于一個個具體可感的現實背景，只有將這些數概念與它們所表示的實際含義建立起聯系，不斷地感知與體驗數的具體數量，學生才有可能真正理解數，在繁雜的客觀現實中把握數的應用，從而建立數感。

二、建立數感——重視體驗

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”數感看不見、摸不著，學生經歷豐富的活動，才能形成自己的體驗，更好地發展數感。但是，這樣的體驗，需要教師創設許多的時間、空間，有時還會造成課堂上無法按時完成相應的教學內容。因此，實際上課中，有的教師以介紹代替活動，以講授代替體驗。

例如，教學《秒的認識》時，有的教師以認識鐘面為主要教學內容，滿足于學生知道時針走一大格是一小時，分鐘走一小格是一分鐘，會看鐘面說出時刻，而將學生1秒、1分的體驗以作業的方式布置學生回家完成。殊不知，這樣看似節約課堂時間的行為，卻可能扼殺學生對時間的感悟。教學初，“秒”這個詞學生在生活中就經常碰到，但是對于很多學生來說，這個詞可能只是一個無明顯意義的時間概念，學生對秒所代表的時間長度并沒有深刻理解；教學中，時間長短的體驗、估測是學生學習的重要內容。而重視體驗的教學又可以怎樣設計呢？

首先，體驗5秒。請學生們選擇自己喜歡的方法，如點頭、拍手、數數……感受5秒的時間。在這一過程中，秒針伴隨聲音走動，引導學生感受體驗1秒的節奏。其次，體驗10秒（前5秒有秒針走動的聲音，后5秒是靜音）。學生們閉上眼睛感覺有聲音的5秒，當聲音關掉時，大家用自己的方法感覺剩下的5秒，感覺10秒的時間，認為時間到了就舉手。活動之后，交流、提煉方法：我們可以用和秒針走的節奏差不多的動作、聲音來估測一秒的時間，如數數、點頭、拍手等方法。最后，估測系紅領巾的時間，引導學生應用剛剛學過的方法計量1秒，有節奏地估測系紅領巾的時間。

這樣，通過“扶—半扶—放”的三個階段，學生反復看秒針走動，聽、說秒針走動的聲音，伴隨鐘面秒針的走動點頭、拍手、數數，說、演、動手，體驗“秒”的時間長度。這樣，“秒”的認識有了具體而鮮明的情境支撐，當再次碰到“秒”的時候，學生能夠與數數、眨眼、拍手等具體操作聯系在一起，逐步熟練、自覺準確地運用自己的方法去感覺時間、計量時間、體驗時間，從而達到內化，提高對時間的估測能力。其實，像時間、重量、長度等這些量的知識，看似簡單，但是，往往需要提供學生大量的活動，讓學生經歷豐富的體驗，形成相應的認識。

引導學生在活動中學習數學，親身感受數學、經歷數學是建立學生數感的有效方式之一。因為抽象性、概括性和邏輯性是數學知識具有的本質特點，抽象的知識要內化為學生可感、可接受的內容，就必須借助“物化”的過程，將數學知識概念與學生的經驗及知識的背景聯系起來，引導學生進行具體實踐活動，不斷地動手、動口、動腦，多種感官參與學習，能引導學生更深層次地理解和感悟數學知識，建立數感。

三、提升數感——加強對比

對比是一切理解和思維的基礎，人類正是通過對比來了解世界的一切的。小學數學的教學內容既有聯系又有區別，教師在教學中充分運用對比的方法，有助于學生接受新知識，深化對新知的認識，提高辨別能力，從而提升學生的數感。而有時一個小小對比環節的失卻，會使得原本豐滿而精彩的一節課頓時索然無味。

例如，《分數的意義》是五年級的教學內容，有的教師這么教學：學生依賴于動手實踐和實例，知道了把一個蘋果平均分成4份，其中的一份占這個蘋果的，把一筐蘋果平均分成4份，其中的一份占這筐蘋果的。這時，教師便引導學生進行總結：一個物體、一些物體都可以看作單位“1”，“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份可以用分數表示”，接著，引導學生進行練習，學生完成練習的正確率也挺高。教學很順暢，學生看起來也都掌握了，但實際上，缺乏對分數實質的深入思考，學生對分數意義的理解是膚淺的，無法形成關于分數真正的認知。在這里，引導學生進行對比就顯得很重要。在學生初步概括出分數的意義后，教師引發學生針對兩個問題進行比較思考：①為什么單位“1”不一樣，都可以用表示？②都是一份，為什么個數會不同？在問題所引發的兩次比較中，包含著教師的暗示與啟發，學生從具體實例的觀察比較中抽象出單位“1”， 明白了一個分數的表示關鍵看兩個要素：首先，看單位“1”平均分成幾份；其次，看取其中的幾份。這樣，學生思考問題時才會擺脫對具體實物的依賴。而“都是一份，為什么個數不同”？因為單位 “1”的數量多少影響著每一份的大小。以問題激發思考，為學生深入理解分數意義打開了一扇智慧之門，學生在比較思辨中提升數感。

四、完善數感——回歸應用

學習數學不是單純地為了計算，更多是為了解決現實問題，就像荷蘭數學家弗賴登塔爾說的那樣：“數學源于現實，寓于現實，用于現實。”那么，在學生數感的完善中，教師要如何引導學生再現和理解現實問題，將現實問題與數量關系建立起聯系，用數學的方法和數學的觀點處理現實問題？筆者認為，教師創設一定的現實情境，引導學生經歷數學問題的抽象、建模的過程，使學生在頭腦中形成與具體事物相聯系的數學模型，才能更好地完善學生的數感。

如學習《有余數的除法》，孤立地以除法豎式引入，學生也能掌握有余數除法的計算，但是卻缺乏現實意義的體會。教學中教師可以創設這樣的情境： 36個人要過河，每條船最多可乘7人，至少需要幾條船？怎樣乘船才合理？這個問題不是簡單地計算36÷7=5……1就可以解決的，學生必須了解除法算式中每一部分的意義，進一步理解商5和余下的1各是什么意思。如果5條船上都坐滿7個人就是35人，還剩1個人也需要1條船，因此需要6條船。那怎樣乘船才合理？學生可以根據自己的認識，給出認為合適的方法。學生在生活實踐的背景中解決問題，既能不斷完善對原有知識的理解與認識，又能體會到數學的應用價值，增強數感。

另外，在實際的問題情境中，很多時候并不需要進行精確計算，只要估算就能順利地解決問題，因此，教師教學時應重視引導學生增強估算意識，掌握估算的方法。比如四舍五入法，估算8.98×4.1，可以看因數接近整數幾，8.98接近9，4.1接近4，所以積在36左右。教師在教學中要善于抓住各種有利時機，讓學生估算并交流，增強估算意識。通過教師不斷設置估算情境，學生將估算內化為一種自覺、自主的意識，進而形成一種習慣，在不斷估算中發展自己的數感。

五、結語

數感的形成是一個漫長的過程，要在感知中積累，在體驗中建立，在對比中發展，在實踐中完善，經過一系列有序的滲透和強化，逐步形成。培養數感不在于教給學生多少“規范”的數學題，而要引導學生從現實背景中“看到”數學，能數學地思考。教學中教師創設學習情境，充分地將現實問題與學習內容聯系起來，把學習活動置于豐富的問題情境中進行，從而使學生在學習過程中不斷體驗“學習有用的數學”，而這正是形成數感的前提。學生在學習的過程中更多地接觸和經歷數學化的過程，不斷內化認識，從而產生對數學學習的深刻的理解，充實自己的認識結構，才能真正發展數感。

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