變式才是硬道理
——一道二元最值問題的變式探究

陜西 李 歆

變式教學是數學教學過程中提高質量的重要手段，通過變式教學，有助于鞏固學生的數學知識，培養學生分析、歸納、解決問題的能力，激發學生的學習興趣，同時也是提高教師教學效率的重要保證.在教學實踐中發現，對最基本的二元最值問題，學生往往感到比較棘手，處理時常常思路受阻，或者容易出錯，其原因是對這類問題的變化規律沒有掌握，導致變式的功能缺失，對此，本文對本刊責任編輯劉編輯在“數學變式興趣研發群”中提出的一道二元最值問題的變式加以探究，供讀者參考.

一、常規解法

由于問題式是由兩個分子與分母都是一次的分式組成，所以容易想到用方程思想求解.

【解法1】先減元后用判別式

去分母后，整理得(3t-5)b2+(4t-2)b+t-1=0，

如果不用判別式法，那么用常用的解題工具——基本不等式行不行？

【解法2】先變形后用基本不等式

由已知條件及基本不等式，可得

二、優美解法

【解法3】添項法一(先將1=2a+b代入第二項的分母)

由已知條件及基本不等式，可得

如果第二項的分母不變，而改變第一項的分母行不行？

由已知條件及基本不等式，可得

【點評】比較上述四種解法，前兩種解法比較復雜，卻是通解通法，屬于基礎層面，后兩種解法十分簡捷，但卻需要抓住問題式的結構特征，對學生的觀察能力有較高的要求，因此屬于能力層面.在數學教學中，教師重視對通解通法的教學固然重要，但不能僅僅停留在基礎層面，還要加強對學生解題能力的訓練，所以在通解通法的基礎上，倡導更加簡便的優美解法，也是數學教學的主要任務.在下面的變式探究中，這種優美解法將會發揮舉足輕重的作用.

三、變式與拓展

策略1：改變位置

1.分子與分母自身互換位置

解：由已知條件及基本不等式，可得

2.分子與分母交叉互換位置

解：由已知條件及基本不等式，可得

3.分子與分子，分母與分母互換位置

解：由已知條件及基本不等式，可得

【點評】以上四種變式，變式1在互換位置后沒有變化，是簡單題，變式2、變式3和變式4在互換位置后，還對局部做了一些“微調”處理，屬于基礎題，四種解法都用到了“1”的代換技巧，變式2和變式3還用到了“添項法”，變式4還用到了“拆項法”，它們都是最基本的解題工具.

策略2：三角換元

由已知條件聯想到三角公式sin2α+cos2α=1，可設2a=sin2x，b=cos2x，則有如下變式.

解：由已知條件及基本不等式，可得

策略3：等差換元

解：由已知條件可知， 5-6x>0，3-2x>0，又由基本不等式可得

【點評】變式5和變式6都是將原來的二元最值問題轉化為一元最值問題，如果按照習慣性思維，采用判別式法求解，則要復雜一些，但利用分子與分母的結構特征，用“添項法”處理卻十分簡捷.

策略4：升冪處理

1.將分子中的a變為a2，b變為b2，同時對第二項的分母做“微調”處理.

解：由已知條件及柯西不等式，可得

解：由已知條件及基本不等式，可得

策略5:改變常數項

解：由已知條件及基本不等式，可得

當且僅當4(m+b)2=2m(1+3b)2時等號成立，

策略6：改變未知項

1.改變a的系數

解：由已知條件及基本不等式，可得

2.改變b的系數

解：由已知條件及基本不等式，可得

3.改變a和b的系數

解：由已知條件及基本不等式，可得

策略7：改變常數項和未知項

解：由已知條件及基本不等式，可得

【點評】與前面8個變式不同的是，后面的5個變式保留了上述問題的基本結構，只是從改變常數項及其變量的系數入手，將原有問題分別從幾個不同的視角作了一般性地拓展，從而使原有問題的內在規律得以展示，在后面5個變式的解法中，都采用了“添項法”，但由于引入了常數參數，所以每一個變式添什么“項”，卻不是一件容易的事，其中隱含了“待定系數法”的思想，值得讀者去思考.